1、2.2.2 等差数列的通项公式(二),第2章 2.2 等差数列,1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质. 2.能运用等差数列的性质解决有关问题.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 推广的等差数列的通项公式 已知a1求an，则ana1(n1)d.(n1) 已知am求an，则anam(nm)d.(mn) 思考 已知等差数列an中的am和an，如何求d?,答案,答案 由an的通项公式得 ana1(n1)d， ama1(m1)d， 两式相减得anam(nm)d， d anam nm .,知识点二 等差数列的性质 1.若
2、an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有,2.等差数列的项的对称性 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1ana2an1a3an2. 3.下标性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则 . 特别的，若mn2p(m，n，pN*)，则有 .,答案,amanapaq,aman2ap,解析 a2a12a5a926；a713.,思考 等差数列an中，若a57，a919，则a2a12 ，a7 .,解析答案,26,13,4.等差数列的“子数列”的性质 若数列an是公差为d的等差数列，则 (1)数列an去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列. (
3、2)奇数项数列a2n1是公差为2d的等差数列. 偶数项数列a2n是公差为2d的等差数列. (3)若数列kn是等差数列，则数列a 也是等差数列. (4)从等差数列an中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列，当然公差要随之发生变化.,返回,kn,题型探究 重点突破,题型一 等差数列的性质及应用 例1 (1)已知等差数列an中，a2a6a101，求a4a8.,解析答案,解 方法一 根据等差数列的通项公式，得 a2a6a10(a1d)(a15d)(a19d)3a115d. 由题意知，3a115d1，即a15d 1 3 . a4a82a110d2(a15d) 2 3 . 方法二 根据等差数列性质 a2a
4、10a4a82a6. 由a2a6a101，得3a61，解得a6 1 3 ， a4a82a6 2 3 .,(2)设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，求a11a12a13的值.,解析答案,反思与感悟,解 an是公差为正数的等差数列，设公差为d(d0)， a1a32a2， a1a2a3153a2， a25，又a1a2a380， a1a3(5d)(5d)16d3或d3(舍去)， a12a210d35，a11a12a133a12105.,解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列an的性质：若mnpq2w，则amanapaq2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利
5、用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想.,反思与感悟,跟踪训练1 在等差数列an中： (1)若a35，则a12a4 ；,解析答案,解析 a12a4a1(a3a5)(a1a5)a32a3a33a315.,15,(2)a1a2a324，a18a19a2078，则此数列a1a20 .,解析 由已知可得(a1a2a3)(a18a19a20)2478(a1a20)(a2a19)(a3a18)3(a1a20)54a1a2018.,18,题型二 等差数列项的设法及运算 例2 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比
6、中间两数之积少18，求此等差数列.,解析答案,反思与感悟,解 设四个数为a3d，ad，ad，a3d，则,又因为是递增数列，所以d0，,此等差数列为1,2,5,8或8，5，2,1.,三个数或四个数成等差数列的设法. 当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，可设出首项a1和公差d列方程组求解，也可采用对称的设法，三个数时，设ad，a，ad；四个数时，设a3d，ad，ad，a3d，利用和为定值，先求出其中某个未知量.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练2 已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.,解得a4，b6，c8. 这三个数为4,6,8.,由得a6，代入得d
7、2， 该数列是递增的，d2舍去， 这三个数为4,6,8.,题型三 等差数列的综合问题,解析答案,(1)求证：数列bn是等差数列，并写出bn的通项公式；,解析答案,(2)求数列an的通项公式及数列an中的最大项与最小项.,解析答案,反思与感悟,解决数列综合问题的方法策略 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项. (2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程(组)或不等式(组). (3)利用函数或不等式的有关方法解决.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练3 设等差数列an的公差为d.若数列2 为递减数列，则下列说法正确的是 . d0；a1d0.,a1an,题型四 等差数列的实际应用 例
8、4 某公司2009年经销一种数码产品，获利200万元，从2010年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？,解析答案,反思与感悟,解 记2009年为第一年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，则每年获利构成等差数列an，且当an11， 即从第12年起，也就是从2020年开始，该公司经销此产品将亏损.,反思与感悟,解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点 (1)解答数列实际应用问题的基本步骤：审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言
9、，将实际问题转化成数学问题；判型，即判断该数列是否为等差数列；求解，即求出该问题的数学解；还原，即将所求结果还原到实际问题中. (2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练4 九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.,解析 设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列an，其首项为a1，公差为d，,解析答案,审题不仔细致误,易错点,例5 首项为24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围为 .,误区警示,返回,错因分析 解答本题，应
10、注意理解“从第10项开始为正数”的含义，它表明“a100”的同时还表明“a90”这一条件.,解析答案,误区警示,误区警示,误区警示,解答此类问题，应注意仔细审题，认真挖掘题目中的隐含条件，并注意应用.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,1.在等差数列an中，a12，a3a510，则a7 .,解析 方法一 设等差数列的公差为d， 则a3a52a16d46d10， 所以d1，a7a16d268. 方法二 由等差数列的性质可得a1a7a3a510，又a12，所以a78.,8,解析答案,1,2,3,4,5,2.在等差数列an中，若a2a4a6a8a1080，则a7 1 2 a8的值为.,解析 由a2
11、a4a6a8a105a680，a616，,8,解析答案,1,2,3,4,5,3.已知等差数列an满足a1a2a3a1010，则下列说法正确的是 . a1a1010；a2a1010；a3a990；a5151.,解析 a1a2a1010， a1a101a2a100a3a992a51， a510a3a99.,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,4.下列是关于公差d0的等差数列an的四个结论： p1：数列an是递增数列； p2：数列nan是递增数列； p3：数列 是递增数列； p4：数列an3nd是递增数列； 其中正确的结论是 .,解析 ana1(n1)ddna1d，因为d0，所以正确； an3n
12、d4dna1d，因4d0，所以是递增数列，正确.,1,2,3,4,5,解析答案,5.在等差数列an中，已知a12a8a1596，则2a9a10 .,解析 a12a8a154a896，a824. 2a9a10a10a8a10a824.,24,课堂小结,1.在等差数列an中，当mn时，d aman mn 为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为aman(mn)d. 2.等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列. 3.等差数列an中，若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN*)，特别地，若mn2p，则anam2ap.,返回,4.在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素.有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解.但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.,