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苏教版高中数学必修五课件:2.2.2 等差数列的通项公式(二)

1、2.2.2 等差数列的通项公式(二),第2章 2.2 等差数列,1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质. 2.能运用等差数列的性质解决有关问题.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 推广的等差数列的通项公式 已知a1求an,则ana1(n1)d.(n1) 已知am求an,则anam(nm)d.(mn) 思考 已知等差数列an中的am和an,如何求d?,答案,答案 由an的通项公式得 ana1(n1)d, ama1(m1)d, 两式相减得anam(nm)d, d anam nm .,知识点二 等差数列的性质 1.若

2、an,bn分别是公差为d,d的等差数列,则有,2.等差数列的项的对称性 在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1ana2an1a3an2. 3.下标性质:在等差数列an中,若mnpq(m,n,p,qN*),则 . 特别的,若mn2p(m,n,pN*),则有 .,答案,amanapaq,aman2ap,解析 a2a12a5a926;a713.,思考 等差数列an中,若a57,a919,则a2a12 ,a7 .,解析答案,26,13,4.等差数列的“子数列”的性质 若数列an是公差为d的等差数列,则 (1)数列an去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列. (

3、2)奇数项数列a2n1是公差为2d的等差数列. 偶数项数列a2n是公差为2d的等差数列. (3)若数列kn是等差数列,则数列a 也是等差数列. (4)从等差数列an中等距离抽取项,所得的数列仍为等差数列,当然公差要随之发生变化.,返回,kn,题型探究 重点突破,题型一 等差数列的性质及应用 例1 (1)已知等差数列an中,a2a6a101,求a4a8.,解析答案,解 方法一 根据等差数列的通项公式,得 a2a6a10(a1d)(a15d)(a19d)3a115d. 由题意知,3a115d1,即a15d 1 3 . a4a82a110d2(a15d) 2 3 . 方法二 根据等差数列性质 a2a

4、10a4a82a6. 由a2a6a101,得3a61,解得a6 1 3 , a4a82a6 2 3 .,(2)设an是公差为正数的等差数列,若a1a2a315,a1a2a380,求a11a12a13的值.,解析答案,反思与感悟,解 an是公差为正数的等差数列,设公差为d(d0), a1a32a2, a1a2a3153a2, a25,又a1a2a380, a1a3(5d)(5d)16d3或d3(舍去), a12a210d35,a11a12a133a12105.,解决本类问题一般有两种方法:一是运用等差数列an的性质:若mnpq2w,则amanapaq2aw(m,n,p,q,w都是正整数);二是利

5、用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算,属于通性通法,两种方法都运用了整体代换与方程的思想.,反思与感悟,跟踪训练1 在等差数列an中: (1)若a35,则a12a4 ;,解析答案,解析 a12a4a1(a3a5)(a1a5)a32a3a33a315.,15,(2)a1a2a324,a18a19a2078,则此数列a1a20 .,解析 由已知可得(a1a2a3)(a18a19a20)2478(a1a20)(a2a19)(a3a18)3(a1a20)54a1a2018.,18,题型二 等差数列项的设法及运算 例2 已知四个数依次成等差数列且是递增数列,四个数的平方和为94,首尾两数之积比

6、中间两数之积少18,求此等差数列.,解析答案,反思与感悟,解 设四个数为a3d,ad,ad,a3d,则,又因为是递增数列,所以d0,,此等差数列为1,2,5,8或8,5,2,1.,三个数或四个数成等差数列的设法. 当三个数或四个数成等差数列且和为定值时,可设出首项a1和公差d列方程组求解,也可采用对称的设法,三个数时,设ad,a,ad;四个数时,设a3d,ad,ad,a3d,利用和为定值,先求出其中某个未知量.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练2 已知三个数成等差数列并且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.,解得a4,b6,c8. 这三个数为4,6,8.,由得a6,代入得d

7、2, 该数列是递增的,d2舍去, 这三个数为4,6,8.,题型三 等差数列的综合问题,解析答案,(1)求证:数列bn是等差数列,并写出bn的通项公式;,解析答案,(2)求数列an的通项公式及数列an中的最大项与最小项.,解析答案,反思与感悟,解决数列综合问题的方法策略 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项. (2)利用通项公式,得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程(组)或不等式(组). (3)利用函数或不等式的有关方法解决.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练3 设等差数列an的公差为d.若数列2 为递减数列,则下列说法正确的是 . d0;a1d0.,a1an,题型四 等差数列的实际应用 例

8、4 某公司2009年经销一种数码产品,获利200万元,从2010年起,预计其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?,解析答案,反思与感悟,解 记2009年为第一年,由题设可知第1年获利200万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,则每年获利构成等差数列an,且当an11, 即从第12年起,也就是从2020年开始,该公司经销此产品将亏损.,反思与感悟,解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点 (1)解答数列实际应用问题的基本步骤:审题,即仔细阅读材料,认真理解题意;建模,即将已知条件翻译成数学(数列)语言

9、,将实际问题转化成数学问题;判型,即判断该数列是否为等差数列;求解,即求出该问题的数学解;还原,即将所求结果还原到实际问题中. (2)在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练4 九章算术“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 升.,解析 设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列an,其首项为a1,公差为d,,解析答案,审题不仔细致误,易错点,例5 首项为24的等差数列,从第10项开始为正数,则公差d的取值范围为 .,误区警示,返回,错因分析 解答本题,应

10、注意理解“从第10项开始为正数”的含义,它表明“a100”的同时还表明“a90”这一条件.,解析答案,误区警示,误区警示,误区警示,解答此类问题,应注意仔细审题,认真挖掘题目中的隐含条件,并注意应用.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,1.在等差数列an中,a12,a3a510,则a7 .,解析 方法一 设等差数列的公差为d, 则a3a52a16d46d10, 所以d1,a7a16d268. 方法二 由等差数列的性质可得a1a7a3a510,又a12,所以a78.,8,解析答案,1,2,3,4,5,2.在等差数列an中,若a2a4a6a8a1080,则a7 1 2 a8的值为.,解析 由a2

11、a4a6a8a105a680,a616,,8,解析答案,1,2,3,4,5,3.已知等差数列an满足a1a2a3a1010,则下列说法正确的是 . a1a1010;a2a1010;a3a990;a5151.,解析 a1a2a1010, a1a101a2a100a3a992a51, a510a3a99.,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,4.下列是关于公差d0的等差数列an的四个结论: p1:数列an是递增数列; p2:数列nan是递增数列; p3:数列 是递增数列; p4:数列an3nd是递增数列; 其中正确的结论是 .,解析 ana1(n1)ddna1d,因为d0,所以正确; an3n

12、d4dna1d,因4d0,所以是递增数列,正确.,1,2,3,4,5,解析答案,5.在等差数列an中,已知a12a8a1596,则2a9a10 .,解析 a12a8a154a896,a824. 2a9a10a10a8a10a824.,24,课堂小结,1.在等差数列an中,当mn时,d aman mn 为公差公式,利用这个公式很容易求出公差,还可变形为aman(mn)d. 2.等差数列an中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等差数列. 3.等差数列an中,若mnpq,则anamapaq(n,m,p,qN*),特别地,若mn2p,则anam2ap.,返回,4.在等差数列an中,首项a1与公差d是两个最基本的元素.有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解.但是,要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量.,