1、2.2.1 等差数列的概念 2.2.2 等差数列的通项公式(一),第2章 2.2 等差数列,1.理解等差数列的定义，会用定义判断一个数列是否为等差数列. 2.能利用等差数列的定义求等差数列中的某一项. 3.理解等差中项的概念，并能利用等差中项的概念判断一个数列是否为等差数列.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 等差数列的概念 一般地，如果一个数列从 起，每一项减去它的前一项所得的差都等于 ，那么这个数列就叫做 数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母d表示. 思考1 等差数列an的概念可用符号表示为 . 思考2
2、等差数列an的单调性与公差d的符号的关系. 等差数列an中，若公差d0，则数列an为 数列；若公差d0，则数列an为 数列；若公差d0，则数列an为常数列.,答案,第二项,同一个常数,等差,公差,递增,递减,an1and(nN*),知识点二 等差中项的概念 若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的，并且A ab 2 . 知识点三 等差数列的通项公式 若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an.,答案,等差中项,a1(n1)d,思考 教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其他方法吗？如何操作？,答案,答案 还可以用累加法，过程如下： a2a1d， a3a2d， a4a3
3、d， anan1d(n2)，将上述(n1)个式子相加得ana1(n1)d(n2)， ana1(n1)d(n2)，当n1时，a1a1(11)d，符合上式， ana1(n1)d(nN*).,知识点四 等差数列与一次函数 1.等差数列的图象：等差数列的通项公式ana1(n1)d，当d0时，an是一固定常数；当d0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点.,返回,d,答案,ana1 n1,2.公差d与斜率：d .,题型探究 重点突破,题型一 等差数列的概念 例1 (1)下列数列中，递增的等差数列有 个. 1,3,5,7,9；2,0，2,0，6,0
4、，；,解析答案,解析 等差数列有，其中递增的为，共3个，为常数列.,3,解析答案,反思与感悟,(1)判断一个数列是不是等差数列，只需看an1an(n1)是不是一个与n无关的常数. (2)判断一个等差数列是不是递增数列，只需看数列an的公差d是否大于0. (3)求两个数的等差中项，只需求这两个数的和的一半即可.,反思与感悟,跟踪训练1 (1)在数列an中，a12,2an12an1(nN*)，则数列an(填“是”或“不是”)等差数列，若是，公差为 .,解析答案,是,(2)已知m和2n的等差中项是8,2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是 .,解析答案,3(mn)201636， mn12，
5、mn 2 6， 即m和n的等差中项为6.,6,题型二 等差数列的通项公式及应用 例2 (1)若an是等差数列，a158，a6020，求a75.,解析答案,解 设an的公差为d.,(2)已知递减等差数列an的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断34是该数列中的项吗？,解析答案,反思与感悟,数列an是递减等差数列， d0.故取a111，d5. an11(n1)(5)5n16. 即等差数列an的通项公式为an5n16. 令an34，即5n1634，得n10. 34是数列an的第10项.,反思与感悟,在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果
6、条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练2 已知an为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式. (1)a35，a713；,ana1(n1)d1(n1)22n1.,解析答案,(2)前三项为a,2a1,3a.,题型三 等差数列的判定与证明,解析答案,(1)求证：数列bn为等差数列；,an1(12an)an(2an11)，,数列bn是等差数列，且公差为4，首项为5.,解析答案,bn是等差数列，且公差为4，首项为5.,(2)试问a1a2是不是数列an中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明
7、理由.,解析答案,反思与感悟,解 由(1)知bnb1(n1)d54(n1)4n1.,即a1a2a11，a1a2是数列an中的项，且是第11项.,(1)判定等差数列的方法:定义法：an1and(nN*)或anan1d(n2，nN*)数列an是等差数列. 等差中项法：2an1anan2(nN*)an为等差数列. 通项公式法：数列an的通项公式anpnq(p，q为常数)数列an为等差数列.,反思与感悟,反思与感悟,注意：a.通项公式法不能作为证明方法.b.若an1an为常数，则该常数为等差数列an的公差；若an1ananan1(n2，nN*)成立，则无法确定等差数列an的公差.c.若数列的前有限项成
8、等差数列,则该数列未必是等差数列；而要否定一个数列是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可. (2)已知数列的递推公式求数列的通项时，要对递推公式进行合理变形，构造出等差数列求通项，需掌握常见的几种变形形式.,解析答案,跟踪训练3 在数列an中，a12，an1an2n1. (1)求证：数列an2n为等差数列；,(2)设数列bn满足bn2log2(an1n)，求bn的通项公式.,证明 (an12n1)(an2n)an1an2n1(与n无关)，故数列an2n为等差数列，且公差d1.,解 由(1)可知，an2n(a12)(n1)dn1， 故an2nn1，所以bn2log2(an1n)2n.,
9、解析答案,对等差数列的定义理解不深刻,易错点,例4 若数列an的通项公式为an10lg 3n，求证：数列an为等差数列.,误区警示,返回,错解 因为an10lg 3n10nlg 3， 所以a110lg 3，a2102lg 3，a3103lg 3，所以a2a1lg 3，a3a2lg 3，则a2a1a3a2，故数列an为等差数列. 错因分析 由数列的通项公式求出的a2a1a3a2仅能确保数列的前三项成等差数列，不能保证数列是等差数列. 正解 因为an10lg 3n10nlg 3， 所以an110(n1)lg 3. 所以an1an10(n1)lg 3(10nlg 3)lg 3(nN*)，所以数列an
10、为等差数列.,误区警示,误区警示,数列的前几项成等差数列与数列为等差数列不是等价的.若数列是等差数列，则数列的前三项成等差数列；而若数列的前三项成等差数列，则数列未必是等差数列；但若数列的前三项不是等差数列，则数列一定不是等差数列.因此利用非等价关系求出的结果未必满足题设条件，必须对求出的结果代入验证，以确保满足题设条件.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,1.等差数列13n，公差d .,解析 an13n，a12，a25， da2a13.,3,解析答案,1,2,3,4,5,2.下列命题：数列6,4,2,0是公差为2的等差数列；数列a，a1，a2，a3是公差为1的等差数列；等差数列的通项公式一
11、定能写成anknb的形式(k，b为常数)；数列2n1是等差数列.其中正确命题的序号是 .,解析 正确，中公差为2.,解析答案,解析 公差da2a14， ana1(n1)d84(n1)(4)884n，,1,2,3,4,5,3.在等差数列an中，若a184，a280，则使an0，且an10的n .,22,解析答案,又nN*，n22.,1,2,3,4,5,解析答案,4.若an是等差数列，下列数列中仍为等差数列的有 个. |an|；an1an；panq(p，q为常数)；2ann.,解析 设anknb，则an1ank，故为常数列，也是等差数列. panqp(knb)qpkn(pbq)， 故为等差数列，
12、2ann2(knb)n(2k1)n2b， 故为等差数列. 不一定是等差数列，如an2n4，则|an|的前4项为2,0,2,4，显然|an|不是等差数列.,3,1,2,3,4,5,解析答案,5.下列命题中正确的是 . 若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列； 若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列； 若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列； 若a，b，c成等差数列，则2a ，2b ，2c成等差数列.,解析 a，b，c为等差数列，2bac， 2(b2)(a2)(c2)， a2，b2，c2成等差数列.,课堂小结,1.判断一个数列是不是等差数列的常用方法有 (1)an1and(d为常数，nN*)an是等差数列； (2)2an1anan2(nN*)an是等差数列； (3)anknb(k，b为常数，nN*)an是等差数列. 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可. 2.由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量. 3.等差数列的单调性由公差d的正负来决定.,返回,