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苏教版高中数学必修五课件:2.1 数列(二)

1、2.1 数 列(二),第2章 数 列,1.理解数列的几种表示方法,能从函数的观点研究数列. 2.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 数列的函数性质 1.数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集 )为定义域的函数anf(n),当自变量按照 的顺序依次取值时所对应的一列函数值. 2.在数列an中,若an1an,则an是 数列;若an1an,则an为 数列;若an1an,则an为 .,答案,1,2,n,从小到大,递增,递减,常数列,思考1 从定义上看,数列是特殊的函数,因

2、此,表示数列除可以用通项公式外,还可以有哪些方法?,答案,答案 还可以用列表法,图象法.,思考2 数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么?,答案,答案 联系:若函数f(x)在1,)上单调,则数列f(n)也单调.反之不正确,例如f(x)(x 5 4 )2,数列f(n)单调递增,但函数f(x)在(1,)上不是单调递增. 区别:二者定义不同,函数单调性的定义:函数f(x)的定义域为D,设DI,对任意x1,x2I,当x1f(x2),则f(x)在I上单调递减,若f(x1)0,f(2)30,f(3)an,当n3,nN*时,an1a4a5. 数列an的前3项是递增的,从第3项往后是递减的.,(1)判断数列

3、的增减性,一般是将其转化为比较相邻两项的大小,常用的方法有作差法、作商法,作差法判断数列增减性的步骤为:作差;变形;定号;结论.作商法适用于各项都是同号的数列,且应比较比值与1的大小关系.,反思与感悟,跟踪训练1 求例题中的数列an的最大项.,解析答案,解 a1a4a5,,解析答案,解析 由a11知a2a1a1(1)2,得a22;,解析答案,反思与感悟,(1)递推公式是表示数列的一种方法,其作用与数列的通项公式类似.可以根据递推公式依次求得数列中的项. (2)利用递推公式求得数列的前几项,可以帮助我们发现数列的通项公式.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练2 数列an满足a11,an12anan1

4、an0. (1)写出数列的前5项;,(2)由(1)写出数列an的一个通项公式.,题型三 由递推公式求通项公式 例3 试写出下列数列的前3项,猜想an并加以证明. (1)在数列an中,a12,an1anln(1 1 n ).,解析答案,解 由题a12,a2a1ln 22ln 2,a3a2ln( 3 2 )2ln 3, 猜想an2lnn(n2).,,,解析答案,an2ln n(n2). 当n1时,a12ln 12,符合上式, an2ln n(nN*).,(2)已知数列an中,a11,且an12an(nN*).,解析答案,反思与感悟,解 a1120,a22a121,a32a222, 猜想an2n1(

5、nN*).证明如下: 由题意得,an2an1(n2), a110,an0,,当n1时,a1211201,符合上式, an2n1(nN*).,(1)由递推公式写出通项公式的步骤 先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项). 根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统一形式. 写出一个通项公式并证明. (2)用“累加法”求数列的通项公式 当anan1f(n)(n2)满足一定条件时,常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1累加来求通项an.,反思与感悟,反思与感悟,(3)用累乘法求数列的通项公式,解析答案,跟踪训练3 已知数列an中,a11, an1 an 1 2 ,则数列an

6、的通项公式是.,解析答案,忽略n的正整数范围致误,易错点,例4 求数列2n229n3中的最大项.,返回,错解 由已知,得,正解 由已知,得,由于nN*,故当n取距离 29 4 最近的正整数7时,an取得最大值108, 数列2n229n3中的最大项为a7108.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,1.下列四个命题: 如果已知一个数列的递推公式及其首项,那么可以写出这个数列的任何一项;数列的图象是一群孤立的点; 数列1,1,1,1,与数列1,1,1,1,是同一数列. 其中真命题为 .(填序号),解析答案,6,解析 只有正确.中,如已知an2an1an,,答案 ,1,2,3,4,5,6,2.数列2

7、,4,6,8,10,的递推公式可以是 . anan12(n2); an2an1(n2); a12,anan12(n2); a12,an2an1(n2).,解析 中没有说明某一项,无法递推,中a12,a24,a38,不合题意.,解析答案,1,2,3,4,5,6,解析 x11,x2 1 2 ,x31, 数列xn的周期为2,x2 017x11.,3.数列xn中,若x11,xn1 1 xn1 1,则x2 017.,1,解析答案,1,2,3,4,5,6,解析答案,当n1,44且nN*时,an单调递减, 当n45,)且nN*时,an单调递减,,可知(an)maxa45,(an)mina44.,a45,a4

8、4,1,2,3,4,5,6,解析答案,5.已知数列an满足a11,anan12(n2),则数列的通项an .,解析 当n2时,anan12, (anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1) 2(n1), an2n1.当n1时,an1适合上式, an2n1(nN*).,2n1,1,2,3,4,5,6,解析答案,6.已知数列an,对于任意的p,qN*,都有apaqapq,若a1 1 9 ,则a36.,a362a184a94.,4,1,2,3,4,5,6,课堂小结,1.an与an是不同的两种表示,an表示数列a1,a2,an,是数列的一种简记形式.而an只表示数列an的第n项,an与an是“个体”与“整体”的从属关系. 2.数列的表示方法:图象法;列表法;通项公式法; 递推公式法. 3.通项公式和递推公式的区别:通项公式直接反映an 和n之间的关系,即an是n的函数,知道任意一个具体的n值,就可以求出该项的值an;而递推公式则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,不能由n直接得出an.,返回,