1、2.1 数 列(二),第2章 数 列,1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列. 2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 数列的函数性质 1.数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集 )为定义域的函数anf(n)，当自变量按照 的顺序依次取值时所对应的一列函数值. 2.在数列an中，若an1an，则an是 数列；若an1an，则an为 数列；若an1an，则an为 .,答案,1,2，n,从小到大,递增,递减,常数列,思考1 从定义上看，数列是特殊的函数，因
2、此，表示数列除可以用通项公式外，还可以有哪些方法？,答案,答案 还可以用列表法，图象法.,思考2 数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么？,答案,答案 联系：若函数f(x)在1，)上单调，则数列f(n)也单调.反之不正确，例如f(x)(x 5 4 )2，数列f(n)单调递增，但函数f(x)在(1，)上不是单调递增. 区别：二者定义不同，函数单调性的定义：函数f(x)的定义域为D，设DI，对任意x1，x2I，当x1f(x2)，则f(x)在I上单调递减，若f(x1)0，f(2)30，f(3)an，当n3，nN*时，an1a4a5. 数列an的前3项是递增的，从第3项往后是递减的.,(1)判断数列
3、的增减性，一般是将其转化为比较相邻两项的大小，常用的方法有作差法、作商法，作差法判断数列增减性的步骤为：作差；变形；定号；结论.作商法适用于各项都是同号的数列，且应比较比值与1的大小关系.,反思与感悟,跟踪训练1 求例题中的数列an的最大项.,解析答案,解 a1a4a5，,解析答案,解析 由a11知a2a1a1(1)2，得a22；,解析答案,反思与感悟,(1)递推公式是表示数列的一种方法，其作用与数列的通项公式类似.可以根据递推公式依次求得数列中的项. (2)利用递推公式求得数列的前几项，可以帮助我们发现数列的通项公式.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练2 数列an满足a11，an12anan1
4、an0. (1)写出数列的前5项；,(2)由(1)写出数列an的一个通项公式.,题型三 由递推公式求通项公式 例3 试写出下列数列的前3项，猜想an并加以证明. (1)在数列an中，a12，an1anln(1 1 n ).,解析答案,解 由题a12，a2a1ln 22ln 2，a3a2ln( 3 2 )2ln 3， 猜想an2lnn(n2).,，,解析答案,an2ln n(n2). 当n1时，a12ln 12，符合上式， an2ln n(nN*).,(2)已知数列an中，a11，且an12an(nN*).,解析答案,反思与感悟,解 a1120，a22a121，a32a222， 猜想an2n1(
5、nN*).证明如下： 由题意得，an2an1(n2)， a110，an0，,当n1时，a1211201，符合上式， an2n1(nN*).,(1)由递推公式写出通项公式的步骤 先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项). 根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式. 写出一个通项公式并证明. (2)用“累加法”求数列的通项公式 当anan1f(n)(n2)满足一定条件时，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1累加来求通项an.,反思与感悟,反思与感悟,(3)用累乘法求数列的通项公式,解析答案,跟踪训练3 已知数列an中，a11， an1 an 1 2 ，则数列an
6、的通项公式是.,解析答案,忽略n的正整数范围致误,易错点,例4 求数列2n229n3中的最大项.,返回,错解 由已知，得,正解 由已知，得,由于nN*，故当n取距离 29 4 最近的正整数7时，an取得最大值108， 数列2n229n3中的最大项为a7108.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,1.下列四个命题： 如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；数列的图象是一群孤立的点； 数列1，1,1，1，与数列1,1，1,1，是同一数列. 其中真命题为 .(填序号),解析答案,6,解析 只有正确.中，如已知an2an1an，,答案 ,1,2,3,4,5,6,2.数列2
7、,4,6,8,10，的递推公式可以是 . anan12(n2)； an2an1(n2)； a12，anan12(n2)； a12，an2an1(n2).,解析 中没有说明某一项，无法递推，中a12，a24，a38，不合题意.,解析答案,1,2,3,4,5,6,解析 x11，x2 1 2 ，x31， 数列xn的周期为2，x2 017x11.,3.数列xn中，若x11，xn1 1 xn1 1，则x2 017.,1,解析答案,1,2,3,4,5,6,解析答案,当n1,44且nN*时，an单调递减， 当n45，)且nN*时，an单调递减，,可知(an)maxa45，(an)mina44.,a45，a4
8、4,1,2,3,4,5,6,解析答案,5.已知数列an满足a11，anan12(n2)，则数列的通项an .,解析 当n2时，anan12， (anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1) 2(n1)， an2n1.当n1时，an1适合上式， an2n1(nN*).,2n1,1,2,3,4,5,6,解析答案,6.已知数列an，对于任意的p，qN*，都有apaqapq，若a1 1 9 ，则a36.,a362a184a94.,4,1,2,3,4,5,6,课堂小结,1.an与an是不同的两种表示，an表示数列a1，a2，an，是数列的一种简记形式.而an只表示数列an的第n项，an与an是“个体”与“整体”的从属关系. 2.数列的表示方法：图象法；列表法；通项公式法； 递推公式法. 3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an 和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.,返回,