1、3.3 空间两点间的距离公式,第二章 3 空间直角坐标系,学习目标 1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程. 2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 空间两点间的距离公式,思考 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？,梳理 两点间的距离公式 (1)在空间直角坐标系中，任意一点P(x，y，z)与原点间的距离|OP|,题型探究,例1 已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，D1D3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点.以D为坐标原
2、点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出点D，N，M的坐标；,类型一 求空间两点间的距离,解答,解 D(0,0,0)，N(2,1,0)，M(1,2,3).,(2)求线段MD，MN的长度.,解答,反思与感悟 求空间两点间的距离的步骤 (1)求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标. (2)确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定.,跟踪训练1 如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|CB|CA|2，ACCB，D，E分别是棱AB，B1C1的中
3、点，F是AC的中点，求DE，EF的长度.,解答,解 以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. |C1C|CB|CA|2， C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)， 由中点坐标公式，可得 D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，,类型二 求空间点的坐标,例2 已知点A(4,5,6)，B(5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|PB|，则点P的坐标为_.,解析 设P(0，0，z)，由|PA|PB|，得,解得z6. 点P的坐标为(0，0，6).,(0,0,6),答案,解析,引
4、申探究 若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？,解 设P(0，y，0)，由|PA|PB|，得,解答,反思与感悟 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标. (2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.,跟踪训练2 设点P在x轴上，使它到点P1(0， ，3)的距离是到点 P2(0，1，1)的距离的2倍，求点P的坐标.,解 因为P在x轴上，所以设点P的坐标为(x，0，0). 因为|PP1|2|PP2|，,解答,所以x1， 所以点P的坐标为(1,0,0)或(1,0,
5、0).,类型三 空间两点间距离公式的应用,例3 如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上.当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值.,解答,Q点在CD上， 设Q(0,1，z)，z0,1，,反思与感悟 利用空间两点间的距离公式，将空间距离问题转化为二次函数的最值问题，体现了数学上的转化思想和函数思想，此类题目的解题方法是直接设出点的坐标，利用距离公式就可以将几何问题代数化，再分析函数即可.,解答,跟踪训练3 在xOy平面内的直线2xy0上确定一点M，使它到点P(3
6、，4，5)的距离最小，并求出最小值.,解 点M在xOy平面内的直线2xy0上， 设点M(a，2a，0)，,当a1时，|MP|取最小值3 ，此时M(1，2，0)， 当点M的坐标为(1，2，0)时，|MP|最小，最小值为3 .,达标检测,答案,1.坐标原点到下列各点距离最大的点是 A.(1,1,1) B.(1,2,2) C.(2,3,5) D.(3,0,4),1,2,3,4,5,2.已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|2 ，则实数x的值是 A.3或4 B.6或2 C.3或4 D.6或2,1,2,3,4,答案,解析 由空间两点间的距离公式，得 解得x6或x2.,5,解析,1,2,3
7、,3.已知三角形的三个顶点A(2,1,4)，B(3,2,6)，C(5,0,2)，则过A点的中线长为,4,答案,解析,解析 BC的中点坐标为(4,1,2)，,5,1,2,3,4,解析,4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCDABCD，AC的中点E与AB的中点F的距离为,答案,5,1,2,3,4,解析 A(a,0,a)，C(0,a,0)，A(a,0,0)，B(a,a,0)，,5,1,2,3,4,5.已知点A(1，a，5)，B(2a，7，2)，则|AB|的最小值为_.,解析,当a1时，|AB|的值最小，,答案,5,1.空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想. 2.若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可.若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解.,规律与方法,