1、2.1 圆的标准方程,第二章 2 圆与圆的方程,学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程. 2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 圆的标准方程,思考1 确定一个圆的基本要素是什么？ 答案 圆心和半径. 思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为 圆心，以2为半径的圆能否用方程(x1)2(y2)2 4来表示？ 答案 能.,梳理 圆的概念及标准方程 (1)圆的几何特征是圆上任一点到 的距离等于定长，这个定长称 为 . (2)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是 . 当ab0时，方
2、程为x2y2r2，表示以 为圆心，r为半径的圆.,(xa)2(yb)2r2,半径,圆心,坐标原点,知识点二 中点坐标公式,知识点三 点与圆的位置关系,答案 |OA|2，|OC|2.,梳理 点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断方法,思考辨析 判断正误 1.方程(xa)2(yb)2m2一定表示圆.( ) 2.圆(x1)2(y2)24的圆心坐标是(1,2)，半径是4.( ),题型探究,命题角度1 直接法求圆的标准方程 例1 (1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0， )在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为 ，则圆C的标准方程为_.,类型一 求圆的标准方程,解析,
3、答案,(x2)2y29,解析 设圆心C的坐标为(a，0)(a0)，圆C的标准方程为(x2)2y29.,解得a2或a2(舍)，,(2)与y轴相切，且圆心坐标为(5，3)的圆的标准方程为_.,解析,答案,(x5)2(y3)225,解析 圆心坐标为(5，3)， 又与y轴相切， 该圆的半径为5， 该圆的标准方程为(x5)2(y3)225.,反思与感悟 (1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程. (2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线
4、的交点必为圆心”等.,解析 AB为直径， AB的中点(1,2)为圆心，该圆的标准方程是(x1)2(y2)225.,跟踪训练1 以两点A(3，1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是 A.(x1)2(y2)210 B.(x1)2(y2)2100 C.(x1)2(y2)225 D.(x1)2(y2)225,解析,答案,命题角度2 待定系数法求圆的标准方程 例2 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x3y10上的圆的标准方程.,解答,解 方法一 (待定系数法) 设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，圆的标准方程是(x4)2(y3)225.,解 方法二 (直接法) 由题意知OP是圆
5、的弦，其垂直平分线为xy10. 弦的垂直平分线过圆心，,即圆心坐标为(4，3)，圆的标准方程是(x4)2(y3)225.,反思与感悟 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤,跟踪训练2 已知ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)，求该三角形的外接圆的标准方程.,解答,解 方法一 设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2， 因为A(0,5)，B(1，2)，C(3，4)都在圆上， 所以它们的坐标都满足圆的标准方程，,故所求圆的标准方程是(x3)2(y1)225.,方法二 因为A(0,5)，B(1，2)，,同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2xy50.,故所求圆的标准方
6、程是(x3)2(y1)225.,类型二 点与圆的位置关系,例3 (1)点P(m2，5)与圆x2y224的位置关系是 A.点P在圆内 B.点P在圆外 C.点P在圆上 D.不确定,解析,解析 由(m2)252m42524， 得点P在圆外.,答案,0,1),解析,答案,反思与感悟 (1)判断点与圆的位置关系的方法 只需计算该点与圆的圆心之间的距离，并与半径作比较即可. 把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断. (2)灵活运用 若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围.,跟踪训练3 已知点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的外部，则a的取值范围是
7、_.,解析,解析 由题意知，(1a)2(1a)24， 即2a220， 解得a1.,答案,(，1)(1，),类型三 与圆有关的最值问题,例4 已知实数x，y满足方程(x2)2y23，求 的最大值和最小值.,解答,解 原方程表示以点(2,0)为圆心，以 为半径的圆，,当直线ykx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，,解 设yxb，即yxb. 当yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，,解答,引申探究 1.若本例条件不变，求yx的最大值和最小值.,解 x2y2表示圆上的点到原点的距离的平方. 由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为2
8、，,解答,2.若本例条件不变，求x2y2的最大值和最小值.,反思与感悟 (1)以圆为载体求函数的最值，求解过程中，注意代数与几何的联系，以化归的思想实现两者的转化，另外数形结合思想在求解过程中起到了桥梁作用，使问题的求解更形象、直观. (2)几种常见代数式的几何意义 x2y2：点(x，y)与原点的距离的平方. (xa)2(yb)2：点(x，y)与点(a，b)的距离的平方., 表示点(x，y)与原点(0,0)所在直线的斜率. 表示点(x，y)与点(a，b)所在直线的斜率. 形如laxby形式的最值问题，可转化为动直线 截距的最值问题.,所求方程为(x3)2y24.,解答,跟踪训练4 已知圆心在x
9、轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0). (1)求此圆的标准方程；,解 圆心C到直线xy10的距离,解答,(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P(x，y)到直线xy10的距离的最大值和最小值.,达标检测,答案,1.若某圆的标准方程为(x1)2(y5)23，则此圆的圆心和半径长分别为 A.(1,5)， B.(1，5)， C.(1,5)，3 D.(1，5)，3,1,2,3,4,5,2.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是 A.x2(y2)21 B.x2(y2)21 C.(x1)2(y3)21 D.x2(y3)21,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5
10、,解析 方法一 (直接法),b2， 圆的标准方程是x2(y2)21.,1,2,3,4,5,方法二 (数形结合法) 作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，故圆的标准方程是x2(y2)21.,1,2,3,3.已知点A(1，1)，B(1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程为 A.x2y22 B.x2y2 C.x2y21 D.x2y24,4,5,答案,解析,解析 AB的中点坐标为(0,0)，,所求圆的方程为x2y22.,解析 x2y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)的距离的平方， 而(0,0)在圆的内部， 由几何意义可知，最小值为14 1.,1,2,3,4,5,答案,
11、解析,4.若实数x，y满足(x5)2(y12)2142，则x2y2的最小值是_.,1,1,2,3,4,5,5.求下列圆的标准方程. (1)圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A(5,6)，C(3，4)；,解 由题意知，AC为直径，则AC的中点为圆心， 圆心坐标为(4,1)，圆的标准方程为(x4)2(y1)226.,解答,1,2,3,4,5,(2)过两点C(1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆.,解 由几何知识知，CD的垂直平分线经过圆心，,解答,CD的垂直平分线为yx2. 则圆心坐标为(2,0)，圆的标准方程为(x2)2y210.,1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率. 2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.,规律与方法,