1、7.3 球的表面积和体积,第一章 7 简单几何体的面积和体积,学习目标 1.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积. 2.会求解组合体的体积与表面积.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 球的截面,思考 什么叫作球的大圆与小圆？ 答案 平面过球心与球面形成的截线是大圆. 平面不过球心与球面形成的截线是小圆.,梳理 用一个平面去截半径为R的球O的球面得到的是 ，有以下性质： (1)若平面过球心O，则截线是以 为圆心的球的大圆. (2)若平面不过球心O，如图，设OO，垂足为O，记OOd，对于平面与球面的任意一个公共点P，都满足OOOP，则有OP ，即此时截
2、线是以 为圆心，以r 为半径的球的小圆.,O,圆,O,知识点二 球的切线,(1)定义：与球只有 公共点的直线叫作球的切线.如图，l为球O的切线，M为切点. (2)性质：球的切线垂直于过切点的半径； 过球外一点的所有切线的长度都 .,相等,唯一,知识点三 球的表面积与体积公式,R3,4R2,思考辨析 判断正误 1.球的表面积等于它的大圆面积的2倍.( ) 2.两个球的半径之比为12，则其体积之比为14.( ) 3.球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.( ),题型探究,例1 (1)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_.,类型一 球的表面积与体积,答案,3,解析,解析 由三视图知该几何体为半球
3、，,(2)已知球的表面积为64，求它的体积.,解答,解 设球的半径为R，则4R264，解得R4，,反思与感悟 (1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解. (2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了. (3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义.根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积.此时要特别注意球的三视图都是直径相同的圆.,跟踪训练1 (1)已知球的体积为 ，则其表面积为_.,解析,答案,1
4、00,解得R5， 所以球的表面积S4R2452100.,(2)某器物的三视图如图，根据图中数据可知该器物的体积是,解析,答案,解析 由三视图可知，此几何体上部是直径为2的球，下部是底面直径为2，高为 的圆锥，,类型二 球的截面,例2 在半径为R的球面上有A，B，C三点，且ABBCCA3，球心到ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积.,解答,解 依题意知，ABC是正三角形，所以球的表面积S4R216.,反思与感悟 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题. (2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2d2r2.
5、,跟踪训练2 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为,解析,答案,解析 利用球的截面性质结合直角三角形求解. 如图，作出球的一个截面，则MC862(cm)，设球的半径为R cm，则R2OM2MB2(R2)242， R5，,解析 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，所以球的表面积S4R214.,类型三 与球有关的组合体,命题角度1 球的内接或外切柱体问题 例3 (1)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为
6、_.,14,解析,答案,解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的， 故可得球的直径为2，故半径为1，,(2)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为_.,解析,答案,反思与感悟 (1)正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，若正方体的棱长为a，此时球的半径为r1 . (2)长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r2 .,答案,解析,解 如图所示，将正四面体
7、补形成一个正方体.设正四面体的棱长为a.又球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R，,命题角度2 球的内接锥体问题 例4 若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积.,解答,解 把正四面体放在正方体中，,跟踪训练4 球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_.,解析,答案,解析 设球的半径为R，当圆锥顶点与底面在球心两侧时，过球心及内接圆锥的轴作轴截面如图，,达标检测,解析 设圆柱的高为h，得h4R.,1.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为 A.R B.2R C.3R D.4R,1,2,3,4
8、,5,答案,解析,答案,解析,解析 如图，设截面圆的圆心为O， M为截面圆上任一点，,1,2,3,4,5,2,3,3.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 A.9 B.10 C.11 D.12,4,5,1,答案,解析,解析 由三视图可知，该几何体的上部分是半径为1的球，下部分是底面半径为1，高为3 的圆柱. 由面积公式可得该几何体的表面积S41221221312.,4.两个球的表面积之差为48，它们的大圆周长之和为12，则这两个球的半径之差为 A.1 B.2 C.3 D.4,解析 设两球半径分别为R1，R2，且R1R2，所以R1R22.,解析,2,3,4,5,1,答案,表面积为S14R2，半径增加为2R后，表面积为S24(2R)216R2.即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.,5.若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的_倍，表面积变为原来的_倍.,2,3,4,5,1,4,答案,8,解析,1.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算. 2.解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.,规律与方法,