1、5.2 平行关系的性质,第一章 5 平行关系,学习目标 1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理. 2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 直线与平面平行的性质,思考1 如图，直线l平面，直线a平面，直线l与直线a一定平行吗？为什么？答案 不一定，因为还可能是异面直线.,思考2 如图，直线a平面，直线a平面，平面平面直线b，满足以上条件的平面有多少个？直线a，b有什么位置关系？答案 无数个，ab.,梳理 性质定理,平行,交线,平行,a，b,知识点二 平面与平面平行的性质,观
2、察长方体ABCDA1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.,思考1 平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？ 答案 是的. 思考2 若m平面ABCD，n平面A1B1C1D1，则mn吗？ 答案 不一定，也可能异面. 思考3 过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？ 答案 平行.,梳理 性质定理,平行,ab,知识点三 平行关系的相互转化,思考辨析 判断正误 1.若直线l不平行于平面，则直线l就不平行于平面内的任意一条直线. ( ) 2.若平面平面，l平面，m平面，则lm.( ) 3.夹在两平行平面的平行线段相等.( ),题型探究,
3、例1 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：APGH.,类型一 线面平行的性质定理的应用,证明,证明 连接MO. 四边形ABCD是平行四边形， O是AC的中点. 又M是PC的中点， APOM. 又AP平面BDM，OM平面BDM， AP平面BDM. 又AP平面APGH，平面APGH平面BDMGH， APGH.,引申探究 如图，在三棱锥PABQ中，E，F，C，D分别是PA，PB，QB，QA的中点，平面PCD平面QEFGH.求证：ABGH.,证明,证明 因为D，C，E，F分别是AQ，B
4、Q，AP，BP的中点， 所以EFAB，DCAB. 所以EFDC. 又EF平面PCD，DC平面PCD， 所以EF平面PCD. 又EF平面EFQ， 平面EFQ平面PCDGH， 所以EFGH. 又EFAB，所以ABGH.,跟踪训练1 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF平面AB1C，则线段FE的长度为_.,答案,解析,解析 EF平面AB1C，又平面ADC平面AB1CAC，EF平面ADC， EFAC， E是AD的中点，,类型二 面面平行的性质定理的应用,例2 如图，平面，A，C，B，D，直线AB与CD交于点S，且AS8，BS9，CD34，求CS的长.
5、,解 设AB，CD都在平面上， 因为AC，BD，且， 所以ACBD， 所以SACSBD，所以SC272.,解答,引申探究 若将本例改为：点S在平面，之间(如图)，其他条件不变，求CS的长.,解 设AB，CD共面，AC，BD. 因为， 所以AC与BD无公共点， 所以ACBD，所以x16， 即CS16.,解答,反思与感悟 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤,跟踪训练2 已知：平面平面平面，两条直线l，m分别与平面，相交于点A，B，C和点D，E，F，如图所示，求证：,证明,证明 如图，连接DC，设DC与平面相交于点G， 则平面ACD与平面，分别相交于直线AD，BG， 平面DCF与平面，分别相交于直
6、线GE，CF. 因为，,所以BGAD，GECF.,类型三 平行关系的综合应用,命题角度1 由面面平行证明线面平行 例3 设AB，CD为夹在两个平行平面，之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点.求证：MP平面.,证明,证明 如图，过点A作AECD交平面于点E，连接DE，BE. AECD， AE，CD确定一个平面，设为， 则AC，DE. 又， ACDE， 取AE的中点N，连接NP，MN， M，P分别为AB，CD的中点， NPDE，MNBE.,又NP，DE，MN，BE， NP，MN， NPMNN， 平面MNP. MP平面MNP，MP， MP.,反思与感悟 线线平行、线面
7、平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：,跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN. 求证：MN平面AA1B1B.,证明,证明 如图，作MPBB1交BC于点P，连接NP， MPBB1，BDB1C，DNCM， B1MBN.NPCDAB. NP平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，,NP平面AA1B1B. MPBB1，MP平面AA1B1B，BB1平面AA1B1B， MP平面AA1B1B， 又MP平面MNP，NP平面MNP，MPNPP， 平面MNP平面AA1B1B. MN平面MN
8、P， MN平面AA1B1B.,命题角度2 探索性问题 例4 在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积.,解答,解 能， 如图，取AB，C1D1的中点M，N， 连接A1M，MC，CN，NA1. 平面A1C1平面AC， 平面A1C平面A1C1A1N， 平面AC平面A1CMC， A1NMC. 同理，A1MNC. 四边形A1MCN是平行四边形.,四边形A1PC1N是平行四边形， A1NPC1且A1NPC1. 同理，A1MBP且A1MBP. 又A1NA1MA1，C1PPBP， 平面A1MCN平面PBC
9、1. 故过点A1与截面PBC1平行的截面是A1MCN. 连接MN，作A1HMN于点H.,反思与感悟 在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是不是性质定理中符合条件的平面.,跟踪训练4 如图所示，已知P是ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC平面PADl. (1)求证：lBC；,证明 因为BCAD，BC平面PAD， AD平面PAD， 所以BC平面PAD. 又因为平面PBC平面PADl，所以BCl.,证明,(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.,解答,解 平行.证明如下： 如图，取PD的中点E，连接AE，NE， 可以证得NEAM且NEAM， 所以四边形MN
10、EA是平行四边形，所以MNAE. 又AE平面PAD，MN平面PAD， 所以MN平面PAD.,达标检测,答案,1.如图所示，在三棱锥SABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF平面ABC，则 A.EF与BC相交 B.EFBC C.EF与BC异面 D.以上均有可能,1,2,3,4,5,解析 EF平面ABC，而平面SBC平面ABCBC， EF平面SBC， EFBC.,解析,2.直线a平面，内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有 A.0条 B.1条 C.0条或1条 D.无数条,1,2,3,4,5,答案,解析 过直线a与交点作平面，设平面与交于直线b，则ab，若所给n条直线中有1条
11、是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条.,解析,2,3,3.给出四种说法： 若平面平面，平面平面，则平面平面； 若平面平面，直线a与相交，则a与相交； 若平面平面，P，PQ，则PQ； 若直线a平面，直线b平面，且，则ab. 其中正确说法的序号是_.,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 正确，因为平面与没有公共点； 正确，若直线a与平面平行或直线a，则由平面平面， 知a或a与无公共点， 这与直线a与相交矛盾，所以a与相交. 正确，如图所示， 过直线PQ作平面，a，b， 由得ab， 因为PQ，PQ.所以PQb，,1,2,3,4,5,因为过直线外一
12、点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合，因为a，所以PQ； 错误，若直线a平面，直线b平面，且，则a与b平行、相交和异面都有可能.,1,4.如图所示，直线a平面，A，并且a和A位于平面两侧，点B，Ca，AB，AC分别交平面于 点E，F，若BC4，CF5，AF3，则EF_.,答案,解析 由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个 平面，所以EF. 因为a平面，a平面，所以EFa.,解析,2,3,4,5,1,5.如图，AB是圆O的直径 ，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.,解答,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,解 直线l平面PAC. 证明如下： 因为E，F分别是PA，PC的中点， 所以EFAC. 又EF平面ABC，且AC平面ABC， 所以EF平面ABC. 而EF平面BEF，且平面BEF平面ABCl， 所以EFl. 因为l平面PAC，EF平面PAC， 所以l平面PAC.,1.空间中各种平行关系相互转化关系的示意图2.证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段.,规律与方法,