1、4.2 空间图形的公理(二),第一章 4 空间图形的基本关系与公理,学习目标 1.掌握公理4及等角定理. 2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 平行公理(公理4),思考 在平面内，直线a，b，c，若ab，bc，则ac.该结论在空间中是否成立？ 答案 成立.,梳理 平行公理 (1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行.,知识点二 空间两直线的位置关系,思考 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？ 观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？答案 平行与相交. 教室内的日光
2、灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.,梳理 异面直线的概念 (1)定义：不同在 平面内的两条直线. (2)异面直线的画法(衬托平面法) 如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.,任何一个,(3)判断两直线为异面直线的方法 定义法； 两直线既不平行也不相交. (4)空间两条直线的三种位置关系 从是否有公共点的角度来分：,平行,异面,相交,从是否共面的角度来分：,在同一平面内 不同在任何一个平面内_,_ _,平行,相交,异面,知识点三 等角定理,思考 观察图，在平行六面体ABCDABCD中，ADC与ADC，ADC与DAB
3、的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案 从图中可以看出，ADCADC， ADCDAB180.,梳理 等角定理 空间中，如果两个角的两条边分别对应 ，则这两个角 或 .,相等,平行,互补,知识点四 异面直线所成的角,思考 在平行六面体A1B1C1D1ABCD中，BC1AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？答案 相等.,梳理 异面直线所成角的定义,锐角(或直角),090,90,ab,思考辨析 判断正误 1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.( ) 2.两直线若不是异面直线，则必相交或平行.( ) 3.若ABAB，ACAC，则BACB
4、AC.( ),题型探究,例1 在正方体ABCDABCD中，E，F，E，F分别是AB，BC，AB，BC的中点，求证：EEFF. 证明 因为E，E分别是AB，AB的中点， 所以BEBE，且BEBE. 所以四边形EBBE是平行四边形， 所以EEBB，同理可证FFBB. 所以EEFF.,类型一 公理4及等角定理的应用,证明,反思与感悟 (1)空间两条直线平行的证明：定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点.利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行. (2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能.,跟踪训练1 如图
5、，已知在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点. 求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；,证明,证明 如图 ，连接AC， 在ACD中， M，N分别是CD，AD的中点， MN是ACD的中位线，由正方体的性质得 ACA1C1，ACA1C1.即MNA1C1， 四边形MNA1C1是梯形.,(2)DNMD1A1C1.,证明 由(1)可知MNA1C1. 又NDA1D1， DNM与D1A1C1相等或互补. 而DNM与D1A1C1均为锐角， DNMD1A1C1.,证明,类型二 异面直线,命题角度1 异面直线的判定 例2 (1)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的
6、位置关系是 A.异面 B.相交或平行 C.平行或异面 D.相交、平行或异面,答案,解析,解析 异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a，b异面，直线c的位置可如图所示.,(2)如图，已知正方体ABCDABCD.哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？,解答,解 由异面直线的定义可知，棱AD，DC，CC，DD，DC，BC所在直线分别与直线BA是异面直线.,反思与感悟 判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行.只要既不相交，也不平行，就是异面直线.,跟踪训练2 (1)在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有_对.,解析 与AB异面的有侧棱PD和PC， 同理，与底面的各条边
7、异面的都有两条侧棱， 故共有异面直线428(对).,8,答案,解析,(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？,解答,解 还原的正方体如图所示.异面直线有三对，分别为AB与CD， AB与GH，EF与GH.,命题角度2 求异面直线所成的角 例3 在空间四边形ABCD中，ABCD，且AB与CD所成锐角为30，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.,解答,解 如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，由ABCD知EGFG， 从而可知GEF为EF与AB所成角，EGF或其补角为AB与CD所成角.
8、AB与CD所成角为30， EGF30或150，,由EGFG知EFG为等腰三角形， 当EGF30时，GEF75， 当EGF150时，GEF15， 故EF与AB所成角的大小为15或75.,反思与感悟 (1)异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点. (2)求异面直线所成的角的一般步骤： 作角：平移成相交直线. 证明：用定义证明前一步的角为所求. 计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围.,跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCDABCD中，E，F分别为平面AB
9、CD与AADD的中心，则EF与CD所成角的大小是_.,解析 连接BD，则E为BD的中点， 连接AB，则EFAB， 又CDAB， 所以BAB为异面直线EF与CD所成的角， 即BAB45.,45,答案,解析,达标检测,答案,1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是 A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交,1,2,3,4,5,解析 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1BB1，AA1DD1，显然BB1BCB，DD1与BC是异面直线，故选B.,解析,2.若OAOA，OBOB，且AOB130，则AOB为 A.130 B.50 C.1
10、30或50 D.不能确定,1,2,3,4,5,答案,解析 根据定理，AOB与AOB相等或互补， 即AOB130或AOB50.,解析,2,3,3.下列四个结论中错误的个数是 垂直于同一直线的两条直线互相平行； 平行于同一直线的两直线平行； 若直线a，b，c满足ab，bc，则ac； 若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线. A.1 B.2 C.3 D.4,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 均为错误结论. 可举反例，如a，b，c三线两两垂直. 如图甲所示，c，d与异面直线l1，l2交于四个点，此时c，d异面； 当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现
11、点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面相交.,1,2,3,4,5,答案,解析,4.如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_.(填序号),1,2,3,4,5,1,解析 中，G，M是中点， AGBM，AGBM， GMAB，GMAB，HNAB，HNAB， 四边形GHNM是平行四边形. GHMN，即G，H，M，N四点共面； 中，H，G，N三点共面，且都在平面HGN内，而点M显然不在平面HGN内， H，G，M，N四点不共面，即GH与MN异面；,2,3,4,5,1,H，G，M，N四点共面； 中，同，G，H，M，N四点不共面，即GH与MN异
12、面.,5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小；,解答,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,解 如图所示，连接AC，AB1.由六面体ABCDA1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形， ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角. 在AB1C中，由AB1ACB1C，可知B1CA60， 即A1C1与B1C所成的角为60.,(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.,解答,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,解 如图所示，连接BD.由(1)知ACA1C1，AC与EF所成的角就是
13、A1C1与EF所成的角. EF是ABD的中位线， EFBD.,2,3,4,5,1,又ACBD， ACEF， EFA1C1， 即A1C1与EF所成的角为90.,1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法. 2.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0，90，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小.,规律与方法,作异面直线所成的角.可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： 直接平移法(可利用图中已有的平行线)；中位线平移法；补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).,