1、2 直观图,第一章 立体几何初步,学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则. 2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 斜二测画法,思考1 边长2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，AB与CD有何关系？AD与BC呢？在原图与直观图中，AB与AB相等吗？AD与AD呢？答案 ABCD，ADBC，ABAB，AD AD.,思考2 正方体ABCDA1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？答案 没有都画成正方形.,梳理 (1)水平放置的平面图形直观图的画法 斜二测画法规则： 在已知图形中建立平面直角坐标
2、系xOy，画直观图时，它们分别对应x轴和y轴，两轴相交于点O，使xOy_，它们确定的平面表示_. 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 于x轴或y轴的线段. 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度 ；平行于y轴的线段，长度为原来的 .,平行,不变,水平平面,45,(2)立体图形直观图的画法,平行性及长度相等,z轴,xOz,yOz,xOy,平面,思考辨析 判断正误 1.用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.( ) 2.用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变.( ) 3.在斜二测画法
3、中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.( ),题型探究,例1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图.,类型一 水平放置的平面图形的直观图,解答,解 画法： (1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画出相应的x轴和y轴，使xOy45，如图(1)(2)所示；,(2)在x轴上截取OBOB，在y轴上截取OD OD，过点D作x轴的平行线l，在l上沿x轴正方向取点C使得DCDC.连接BC，如图(2)；,(3)去掉辅助线，所得四边形OBCD就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3).,引申探究 若得本例中的直角梯形改为等腰梯形，画出其直
4、观图.,解答,解 画法： (1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画出对应的x轴和y轴，使xOy45；,(2)以O为中点在x轴上取ABAB，在y轴上取OEOE，以E为中点画出CDx轴，并使CDCD； (3)连接BC，DA，所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.,反思与感悟 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需
5、把这些顶点顺次连接即可.,跟踪训练1 已知正五边形ABCDE，如图，试画出其直观图.,解答,解 画法： (1)在图(1)中作AGx轴于点G，作DHx轴于点H.,(2)在图(2)中画相应的x轴与y轴，两轴相交于点O，使xOy45.,(4)连接AB，AE，ED，DC，并擦去辅助线GA，HD，x轴与y轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE(如图(3).,类型二 直观图的还原与计算,例2 如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1 C1D12，A1D1OD11.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积.,解答,解 如图，建立
6、平面直角坐标系xOy，在x轴上截取ODOD11，OCOC12. 在过点D的y轴的平行线上截取DA2D1A12. 在过点A的x轴的平行线上截取ABA1B12. 连接BC，即得到了原图形. 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB2，CD3，直角腰的长度AD2， 所以面积为S 25.,反思与感悟 (1)由直观图还原为平面图的关键是找与x轴，y轴平行的直线或线段，且平行于x轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. (2)若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S，则有SS或S2 S.利用这一公式可由
7、原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.,跟踪训练2 (1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形ABO，若OB1，那么原三角形ABO的面积是,答案,解析,(2)如图所示，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，CD2 cm，则原图形是_.(填四边形的形状),解析,答案,菱形,解析 如图所示，在原图形OABC中，应有OAOA6(cm)， OD2OD22 4 (cm)， CDCD2(cm)，OAOC，又OABC，OABC， 故四边形OABC是菱形.,类型三 简单几何体的直观图,例3 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.,解答,解
8、 画法： (1)画轴.画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使xOy45(或135)，xOz90，如图.,(2)画底面，以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD. (3)画顶点.在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高. (4)成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图.,反思与感悟 简单几何体直观图的画法 (1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系. (2)画底面：根据平面图形直观图的画法确定底面. (3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点. (4)连线成图.,跟踪训练3 用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体AB
9、CDABCD的直观图.,解答,解 画法： (1)画轴.如图，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使xOy45，xOz90.(2)画底面.以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN2 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.,(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上沿Oz轴方向分别截取2 cm长的线段AA，BB，CC，DD. (4)成图.顺次连接A，B，C，D，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得到正方体的直观图(如图).
10、,达标检测,答案,1.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，图中正确的是,1,2,3,4,5,解析,解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为21.,2.下列关于直观图的说法不正确的是 A.原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y轴，长度不变 B.原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x轴，长度不变 C.在画与直角坐标系xOy对应的xOy时，xOy可以画成45 D.在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 平行于y轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故选A.,1,2,3,3.有一个长为5 cm，宽为
11、4 cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为_cm2.,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 在原图中，AC6，BC428，AOB90， AB 10.,4.如图，水平放置的ABC的斜二测直观图是图中的ABC，已知AC6，BC4，则AB边的实际长度是_.,10,1,2,3,4,5,5.画出一个正三棱台的直观图.(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm, 2 cm，高为2 cm),解答,1,2,3,4,5,解 画法： (1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图ABC，其中O为ABC的重心，BC2 cm，线段AO与x轴的夹角为45，AO2OD.,1,2,3,4,5,(2)过O
12、作z轴，使xOz90，在Oz轴上截取OO2 cm，作上底面等边三角形的直观图ABC，其中BC1 cm，连接AA，BB，CC，得正三棱台的直观图.,1.画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点.确定点的位置，可采用直角坐标系.建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上. 2.用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点： (1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成Ox、Oy轴，使xOy45. (2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.,规律与方法,