1、1.2 利用二分法求方程的近似解,第四章 1 函数与方程,学习目标 1.理解二分法的原理及其适用条件. 2.掌握二分法的实施步骤. 3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 二分法的原理,思考 通过上节课的学习，我们知道f(x)ln x2x6的零点在区间(2,3)内，如何缩小零点所在区间(2,3)的范围？,答案 取区间(2,3)的中点2.5. 计算f(2.5)的值，用计算器算得f(2.5)0.084.因为f(2.5)f(3)0，所以零点在区间(2.5,3)内.,梳理 二分法的概念 如果在区间a，b上，函数f(x)的图像是 ，且 ，
2、则区间a，b内有方程f(x)0的解. 依次取有解 ，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)0，则x0就是所求的一个解；如果区间中点的函数值总不等于零，那么，不断地重复上述操作，就得到一系列闭区间，方程的一个解在这些区间中，区间长度 ，端点逐步逼近方程的解，可以得到一个近似解. 像这样每次 ，将区间 ，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.,一条连续的曲线,f(a)f(b)0,区间的中点,越来越小,取区间的中点,一分为二,知识点二 精度与精确到,思考 “精确到0.1”与“精度为0.1”一样吗？,答案 不一样.比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小
3、数得1.3.而“精度为0.1”指零点近似值所在区间(a，b)满足|ab|0.1，比如零点近似值所在区间(1.25,1.34).若精度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.,梳理 在许多实际应用中，不需要求出方程精确的解，只要满足一定的精度就可以.设 是方程f(x)0的一个解，给定正数，若x0满足 ，就称x0是满足精度的近似解. 为了得到满足精度的近似解，只需找到方程的一个有解区间a，b，那么区间(a，b)内任意一个数都是满足精度的近似解. 事实上，任意选取两数x1，x2(a，b)，都有|x1x2|.由于 (a，b)，所以任意选取x(a，b)都有|x |.,|x0 |,使得区间长度
4、ba,知识点三 二分法求方程近似解的步骤,利用二分法求方程实数解的过程可以用下图表示出来.,在这里： “初始区间”是一个两端函数值反号的区间； “M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号； “N”的含义是：方程解满足要求的精度； “P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解.,思考辨析 判断正误 1.如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值. ( ) 2.要用二分法，必须先确定零点所在区间.( ) 3.用二分法最后一定能求出函数零点.( ) 4.达到精度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值.( ),题型
5、探究,类型一 二分法的操作,解答,例1 用二分法求函数f(x)x33的一个零点.(精度为0.02),解 由于f(0)30， f(1)20，f(2)50， 故可取区间(1,2)作为计算的初始区间.,用二分法逐次计算，列表如下：,因为|1.453 1251.437 5|0.015 6250.02， 所以函数f(x)x33的零点的近似值可取为1.437 5.,引申探究,解答,由f(1)10，故可以取区间(1,2)为计算的初始区间.,用二分法逐次计算，列表如下：,由于|1.265 6251.257 812 5|0.007 812 50.01， 所以1.265 625是函数的零点的近似值，,反思与感悟
6、用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.,跟踪训练1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x3x7的近似解.(精度为0.1),解答,解 原方程即2x3x70，令f(x)2x3x7， 用计算器或计算机作出函数f(x)2x3x7的对应值表与图像如下：,观察图或表可知f(1)f(2)0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.,取区间(1,2)的中点x11.5，用计算器算得f(1.5)0.33. 因为f(1)f(1.5)0，所以x0(1,1.5). 再取区间(1,1.5)的中点x21.25，
7、用计算器算得f(1.25)0.87. 因为f(1.25)f(1.5)0，所以x0(1.25,1.5). 同理可得，x0(1.375，1.5)，x0(1.375,1.437 5). 由于|1.3751.437 5|0.062 50.1， 所以原方程的近似解可取为1.437 5.,类型二 二分法取中点的次数问题,例2 若函数f(x)在(1,2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分 A.5次 B.6次 C.7次 D.8次,答案,解析,解析 设对区间(1,2)至少二等分n次，初始区间长为1.,；,6log21007，n7. 故对区间(1,2)至少二等分7次.,
8、跟踪训练2 在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精度为0.05，则取中点的次数不小于_.,解析,答案,5,解析 初始区间的长度为1，精度为0.05，,又nN，n5，,取中点的次数不小于5.,达标检测,1.下列函数中，只能用二分法求其零点的是 A.yx7 B.y5x1 C.ylog3x D.y x,答案,1,2,3,4,5,2.观察下列函数的图像，判断能用二分法求其零点的是,1,2,3,4,5,答案,3.方程2x1x5的根所在的区间为 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4),1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,答案,A.(2,4) B.(2,3) C.(3,4) D.无法确定,1,2,3,4,5,答案,1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点. 2.二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图像是连续的，且两端点函数值反号. 3.求函数零点的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同.,规律与方法,