1、5.1 对数函数的概念 5.2 对数函数ylog2x的图像和性质,第三章 5 对数函数,学习目标 1.理解对数函数的概念. 2.掌握对数函数的性质. 3.了解对数函数在生产实际中的简单应用. 4.了解反函数的概念及它们的图像特点.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 对数函数的概念,思考 已知函数y2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？,答案 由于y2x是单调函数，所以对于任意y(0，)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是xlog2y，此处y(0，).,梳理 一般地，我们把 叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 .a叫作对数函数的底数
2、. 特别地，称以10为底的对数函数ylg x为常用对数函数；称以无理数e为底的对数函数yln x为自然对数函数.,函数ylogax(a0，a1),(0，),知识点二 对数函数的图像与性质,思考 ylogax化为指数式是xay，你能用指数函数单调性推导出对数函数单调性吗？,答案 当a1时，若0x1x2，则 ，解指数不等式，得y1y2从而ylogax在(0，)上为增函数. 当0a0.( ) 2.y2log2x是对数函数.( ) 3.yax与ylogax的单调区间相同.( ) 4.由loga10，可得ylogax恒过定点(1,0).( ),题型探究,类型一 对数函数的概念,解答,解 设ylogax(
3、a0，且a1)， 则2loga4，故a2，即ylog2x，,反思与感悟 对数函数必须是形如ylogax(a0，且a1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数. (3)对数的真数仅有自变量x.,跟踪训练1 判断下列函数是不是对数函数？并说明理由. (1)ylogax2(a0，且a1)；,解答,解 真数不是自变量x， 不是对数函数；,(2)ylog2x1；,解 对数式后减1，不是对数函数；,(3)ylogxa(x0，且x1)；,解答,解 底数是自变量x，而非常数a， 不是对数函数.,(4)ylog5x.,解 为对数函数.,类型二 对数函数的定义域的应用,
4、例2 求下列函数的定义域. (1)yloga(3x)loga(3x)；,函数的定义域是x|3x0，得4x1642， 由指数函数的单调性得x2， 函数ylog2(164x)的定义域为x|x3.,2.求函数yloga(x3)(x3)的定义域，相比引申探究1，定义域有何变化？,解得x3. 函数yloga(x3)(x3)的定义域为x|x3. 相比引申探究1，函数yloga(x3)(x3)的定义域多了(，3)这个区间，原因是对于yloga(x3)(x3)， 要使对数有意义，只需(x3)与(x3)同号，而对于yloga(x3)loga(x3)，要使对数有意义，必须(x3)与(x3)同时大于0.,解答,反思
5、与感悟 求含对数式的函数定义域的关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变.,跟踪训练2 求下列函数的定义域.,解答,故所求函数的定义域为(3，2)2，).,(2)ylog(x1)(164x)；,解答,所以1x2，且x0， 故所求函数的定义域为x|1x1， 所以它在(0，)上是增函数， 又3.48.5， 于是log23.40，且a1).,解 当a1时，ylogax在(0，)上是增函数， 又5.1loga5.9. 综上，当a1时，loga5.1loga5.9； 当0a1时，loga5.1loga5.9.,解答,反思与感悟 比较两个同底数的对数大小，首
6、先要根据底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论.对于不同底的对数，可以估算范围，如log22log23log24，即1log230，3x11. ylog2x在(0，)上递增， log2(3x1)log210， 即f(x)的值域为(0，).,反思与感悟 在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系.故求ylogaf(x)型函数的值域必先求定义域，进而确定f(x)的范围，再利用对数函数ylogax的单调性求出logaf(x)的取值范围.,A.(0,3) B.0,3 C.(，3 D.0，),答案,解析,当x
7、1时，log2xlog210，,命题角度1 画与对数函数有关的函数图像 例5 画出函数ylg|x1|的图像.,解答,类型四 对数函数的图像,解 (1)先画出函数ylg x的图像(如图).,(2)再画出函数ylg|x|的图像(如图).,(3)最后画出函数ylg|x1|的图像(如图).,反思与感悟 现在画图像很少单纯描点，大多是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点.,跟踪训练5 画出函数y|lg(x1)|的图像.,解答,解 (1)先画出函数ylg x的图像(如图).,(2)再画出函数ylg(x1)的图像(如图).,(3
8、)再画出函数y|lg(x1)|的图像(如图).,命题角度2 与对数函数有关的图像变换 例6 函数f(x)4loga(x1)(a0，a1)的图像过一个定点，则这个定点的坐标是_.,答案,解析,(2,4),解析 因为函数yloga(x1)的图像过定点(2,0)， 所以函数f(x)4loga(x1)的图像过定点(2,4).,跟踪训练6 已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图像如图，则下列结论成立的是 A.a1，c1 B.a1,01 D.0a1,0c1,答案,解析,解析 由对数函数的图像和性质及函数图像的平移变换知0a1,0c0，且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)等于
9、A.log2x B. C. D.2x2,1,2,3,4,5,答案,5.若函数f(x)2loga(2x)3(a0，且a1)过定点P，则点P的坐标是_.,1,2,3,4,5,答案,(1,3),1.含有对数符号“log”的函数不一定是对数函数. 判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的概念，即形如ylogax(a0，且a1)的形式.如：y2log2x，y 都不是对数函数，可称其为对数型函数. 2.研究ylogaf(x)的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质.,规律与方法,3.研究与对数函数图像有关的问题，以对数函数图像为基础，加以平移、伸缩、对称或截取一部分. 4.yax与xlogay的图像是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y表示因变量，把xlogay换成ylogax，ylogax才与yax关于yx对称，因为(a，b)与(b，a)关于yx对称.,