1、5 简单的幂函数(一),第二章 函 数,学习目标 1.了解幂函数的概念.,3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 幂函数的概念,思考 y ，yx，yx2三个函数有什么共同特征？,答案 底数为x，指数为常数.,梳理 如果一个函数底数是自变量x，指数是常量，即yx，这样的函数称为幂函数.,知识点二 幂函数的图像与性质,思考 如图在同一坐标系内作出函数(1)yx；(2) ；(3)yx2；(4)yx1；(5)yx3的图像.,填写下表：,R,R,R,R,R,0，),x|x0,0，),0，),y|y0,
2、增,加,减少,增,增,减,少,减少,梳理 根据上表，可以归纳一般幂函数特征： (1)所有的幂函数在(0，)上都有定义，并且图像都过点 ； (2)0时，幂函数的图像通过 ，并且在区间0，)上是 函数.特别地，当1时，幂函数的图像下凸；当01)，它同各幂函数图像相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从 到 的顺序排列.,(1,1),原点,增,x3.( ),3. 与 定义域相同.( ),4.若yx在(0，)上为增函数，则0.( ),题型探究,类型一 幂函数的概念,解答,例1 已知 是幂函数，求m，n的值.,反思与感悟 只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常量这三个条件，才是幂函数.
3、如：y3x2，y(2x)3，y 都不是幂函数.,跟踪训练1 在函数y ，y2x2，yx2x，y1中，幂函数的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3,解析 因为y x2，所以是幂函数；,y2x2由于出现系数2，因此不是幂函数； yx2x是两项和的形式，不是幂函数； y1x0(x0)，可以看出，常函数y1的图像比幂函数yx0的图像多了一个点(0,1), 所以常函数y1不是幂函数.,答案,解析,类型二 幂函数的图像及应用,解答,同理可求得g(x)x2. 在同一坐标系内作出函数f(x)x2和g(x)x2的图像(如图所示)，观察图像可得：,当x1或xg(x)；,(2)f(x)g(x)；,解答,解 当x1
4、或x1时，f(x)g(x)；,(3)f(x)g(x).,解 当1x1且x0时，f(x)g(x).,反思与感悟 幂函数由于指数的不同，它们的定义域也不同，性质也不同，幂函数的图像主要分01和0三种情况讨论.,跟踪训练2 幂函数yx(0)，当取不同的正数时，在区间0,1上它们的图像是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数yx，yx的图像三等分，即有BMMNNA，则等于,A.1 B.2 C.3 D.无法确定,答案,解析,故选A.,类型三 幂函数性质的应用,命题角度1 比较大小,例3 设 则a，b，c的大小关系是, 即ac.bac.故选B.,答
5、案,解析,A.abc B.bac C.bca D.cba,反思与感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变.比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量.,跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小：,解答,解 00.3 ,命题角度2 幂函数性质的综合应用,解答,例4 已知幂函数yx3m9(mN)的图像关于y轴对称且在(0，)上单调递减，求满足 的a的取值范围.,解 因为函数在(0，)上单调递减，所以3m90， 解得m32a0或32aa10或a10f(a1)等价于2aa10，,达标检测,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3
6、,4,5,答案,A.1,3 B.1,1 C.1,3 D.1,1,3,1,2,3,4,5,答案,4.下列是 的图像的是,1,2,3,4,5,答案,5.以下结论正确的是 A.当0时，函数yx的图像是一条直线 B.幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点 C.若幂函数yx的图像关于原点对称，则yx在定义域内y随x的增大而增大 D.幂函数的图像不可能在第四象限，但可能在第二象限,1,2,3,4,5,答案,1.幂函数yx(R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准. 2.幂函数yx的图像与性质由于的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)0时，图像过(0,0)，(1,1)在第一象限的图像上升；1时，曲线下凸；01时，曲线上凸；0时，曲线下凸.,规律与方法,3.在具体应用时，不一定是yx，1， ，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.,