1、5 简单的幂函数(二),第二章 函 数,学习目标 1.理解函数奇偶性的定义. 2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法. 3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 函数奇偶性的几何特征,思考 下列函数图像中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？,答案 关于y轴对称，关于原点对称.,梳理 一般地，图像关于y轴对称的函数叫作 函数，图像关于原点对称的函数叫作 函数.,偶,奇,知识点二 函数奇偶性的定义,思考1 为什么不直接用图像关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？,答案 因为很多函数图像我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难
2、以精确判断.,思考2 利用点对称来刻画图像对称有什么好处？,答案 好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图像关于y轴(原点)对称，反之亦然. (2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图像也能操作.,梳理 函数奇偶性的概念 (1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫作偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x)关于y轴的对称点(x，f(x)也在f(x)图像上. (2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫作奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x
3、，f(x)关于原点的对称点(x，f(x)也在f(x)图像上. (3)由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数x必须也在定义域内，所以判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称.,f(x)f(x),f(x)f(x),知识点三 奇偶性与单调性,思考 观察偶函数yx2与奇函数y 在(，0)和(0，)上的单调性，你有何猜想？,答案 偶函数yx2在(，0)和(0，)上的单调性相反； 奇函数y 在(，0)和(0，)上的单调性相同.,梳理 (1)若奇函数f(x)在a，b上是增函数，且有最大值M，则f(x)在b，a上是 函数，且有最小值 . (2)若偶函数f(x)在(，0)
4、上是减函数，则f(x)在(0，)上是 . (3)知道了函数的奇偶性，我们可以先研究函数的一半，再利用对称性了解其另一半，从而减少工作量.,增,M,增函数,思考辨析 判断正误 1.关于y轴对称的图形都是偶函数的图像.( ) 2.若f(x)是奇函数，f(1)2，则f(1)2.( ) 3.存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个.( ) 4.有些函数既非奇函数，又非偶函数.( ),题型探究,类型一 判断函数的奇偶性,证明,例1 判断并证明下列函数的奇偶性：,证明 因为函数的定义域为x|xR且x1， 对于定义域内的1，其相反数1不在定义域内，,(2)f(x)(x1)(x1)；,证明,证明 函数的定义
5、域为R， 因为函数f(x)(x1)(x1)x21， 又f(x)(x)21x21f(x)， 所以函数为偶函数.,证明,证明 函数的定义域为1,1， 因为对定义域内的每一个x，都有f(x)0，所以f(x)f(x)，,即该函数既是奇函数又是偶函数.,反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则x也一定属于定义域.,跟踪训练1 判断并证明下列函数的奇偶性：,解答,故f(x)为非奇非偶函数.,(2)f(x)x|x|；,解答,解 函数的定义域为R， 因为f(x)(x)|x|x|x|f(x)， 所以函数为奇函数.,(3)f(x)，g(x)
6、是定义在R上的奇函数，试判断yf(x)g(x)，yf(x)g(x)，yfg(x)的奇偶性.,解答,解 f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数， f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，yf(x)g(x)是奇函数. f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，yf(x)g(x)是偶函数. fg(x)fg(x)fg(x)，yfg(x)是奇函数.,类型二 奇偶性的应用,命题角度1 奇(偶)函数图像的对称性的应用 例2 定义在R上的奇函数f(x)在0，)上的图像如图所示. (1)画出f(x)的图像；,解答,解 先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(1，1)，(2,0)，连线可得
7、f(x)的图像如图.,(2)解不等式xf(x)0.,解答,解 xf(x)0即图像上横坐标、纵坐标同号. 结合图像可知，xf(x)0的解集是(2,0)(0,2).,引申探究 把例2中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题.,解答,解 (1)f(x)的图像如图所示：,(2)xf(x)0的解集是(，2)(0,2).,反思与感悟 鉴于奇(偶)函数图像关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性.,跟踪训练2 已知奇函数f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图像如图所示. (1)画出在区间5,0上的图像；,解 如图，在0,5上的图像上选取5个关键点O，A，B，C，D.,分别
8、描出它们关于原点的对称点O，A，B，C，D， 再用光滑曲线连接即得.,解答,(2)写出使f(x)0的x的取值集合.,解答,解 由(1)图可知，当且仅当x(2,0)(2,5)时，f(x)0. 使f(x)0时，f(x)x1，求当x0时，f(x)的解析式.,解答,解 设x0， f(x)(x)1x1， 又函数f(x)是定义域为R的奇函数， f(x)f(x)x1， 当x0时，f(x)2xx2.求yf(x)的解析式.,解答,解 设x0，因为f(x)是奇函数， 所以f(x)f(x)2(x)(x)22xx2. 因为yf(x)是R上的奇函数，所以f(0)0.,命题角度3 奇偶性对单调性的影响 例4 设f(x)是
9、偶函数，在区间a，b上是减函数，试证f(x)在区间b，a上是增函数.,证明 设x1，x2是区间b，a上任意两个值，且有x1x2. bx1x2a，ax2x1b. f(x)在a，b上是减函数，f(x2)f(x1). f(x)为偶函数，即f(x)f(x)， f(x2)f(x2)，f(x1)f(x1). f(x2)f(x1)，即f(x1)0，即f(|x1|)f(2)， |x1|,20，)， 且f(x)在0，)上单调递减. |x1|2，即2x10，则x的取值范围是_.,答案,解析,(1,3),达标检测,1.下列函数为偶函数的是 A.f(x)x1 B.f(x)x2x C.f(x)2x2x D.f(x)2x
10、2x,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 D中，f(x)2x2xf(x)， f(x)为偶函数.,2.函数f(x)x(10时，f(x)x1，则当x0时f(x)等于 A.x1 B.x1 C.x1 D.x1,1,2,3,4,5,答案,5.定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增函数，若f(a)b C.|a|b0,1,2,3,4,5,答案,1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(x)f(x) f(x)f(x)0f(x)为奇函数；如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为偶函数. 2.两个性质：函数为奇函数它的图像关于原点对称；函数为偶函数它的图像关于y轴对称. 3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.,规律与方法,4.(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数. (2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)f(x)，它能使自变量化归到0，)上，避免分类讨论. 5.具有奇偶性的函数的单调性的特点： (1)奇函数在a，b和b，a上具有相同的单调性. (2)偶函数在a，b和b，a上具有相反的单调性.,