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北师大版高中数学必修一课件:2.2.2 函数的表示法(二)_ 2.3 映 射

1、2.2 函数的表示法(二) 2.3 映 射,第二章 2 对函数的进一步认识,学习目标 1.会用解析法及图像法表示分段函数. 2.给出分段函数,能研究有关性质. 3.了解映射的概念.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 分段函数,思考 设集合AR,B0,).对于A中任一元素x,规定:若x0,则对应B中的yx;若x0,则对应B中的yx.按函数定义,这一对是不是函数?,答案 是函数.因为从整体来看,A中任一元素x,在B中都有唯一确定的y与之对应.,梳理 (1)一般地,分段函数就是在函数定义域内,对于自变量x的不同取值范围,有着不同的 的函数. (2)分段函数是一个函数,其定义

2、域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ;各段函数的定义域的交集是 . (3)作分段函数图像时,应在同一坐标系内分别作出每一段的图像.,对应关系,并集,空集,知识点二 映射,思考 设A三角形,BR,对应关系f:每个三角形对应它的周长.这个对应是不是函数?它与函数有何共同点?,答案 因为A不是非空数集,故该对应不是函数.但满足“A中任一元素,在B中有唯一确定的元素与之对应”.,梳理 映射的概念 两个非空集合A与B间存在着对应关系f,而且对于A中的每一个元素x,B中总有 的一个元素y与它对应,就称这种对应为从A到B的映射,记作f:AB. A中的元素x称为原像,B中的对应元素y称为x的像,记作f:x

3、y. 函数一定是映射,映射不一定是函数.,唯一,思考辨析 判断正误 1.分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为R.( ) 2.分段函数各段上的函数值集合的交集为.( ) 3.分段函数的图像一定是不连续的.( ) 4.如果把“函数”和“映射”当成两个集合A,B,则AB.( ),题型探究,类型一 建立分段函数模型,解答,例1 如图所示,已知底角为45的等腰梯形ABCD,底边BC长为7 cm,腰长为 cm,当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BFx,试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出大致图像.,解 过点A,D分别作A

4、GBC,DHBC,垂足分别是G,H.,所以BGAGDHHC2 cm, 又BC7 cm,所以ADGH3 cm.,(3)当点F在HC上,即x(5,7时,,综合(1)(2)(3),得函数的解析式为,图像如图所示:,反思与感悟 当目标在不同区间有不同的解析表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系,而分段函数图像也需要分段画.,跟踪训练1 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5公里以内(含5公里),票价2元; (2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按照5公里计算). 如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函

5、数的图像.,解答,解 设票价为y元,里程为x公里,定义域为(0,20.,函数图像如图所示:,类型二 研究分段函数的性质,命题角度1 给x求y,解答,解 5(,2,f(5)514.,引申探究 本例中f(x)解析式不变,若x5,求f(x)的取值范围.,解答,解 当5x2时,f(x)x14,1; 当2x4, 所以f(5)523. 因为30, 所以f(f(5)f(3)341. 因为018.,解答,反思与感悟 已知函数值求x取值的步骤 (1)先对x的取值范围分类讨论. (2)然后代入到不同的解析式中. (3)通过解方程求出x的解. (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内. (5)若解不等式,应把所求x的

6、范围与所讨论区间求交集,再把各区间内的符合要求的x的值并起来.,解答,(1)画出f(x)的图像;,解 利用描点法,作出f(x)的图像,如图所示.,解答,(3)求f(x)的值域.,解答,解 由图像知,当1x1时,f(x)x2的值域为0,1, 当x1或x1时,f(x)1. 所以f(x)的值域为0,1.,类型三 映射的概念,例4 以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射? (1)集合AP|P是数轴上的点,集合BR,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应;,解答,解 按照建立数轴的方法可知,数轴上的任意一个点,都有唯一的实数与之对应, 所以这个对应f:AB是从集合A到集合B的一个映射.,解答,(

7、2)集合AP|P是平面直角坐标系中的点,集合B(x,y)|xR,yR,对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;,解 按照建立平面直角坐标系的方法可知,平面直角坐标系中的任意一个点,都有唯一的一个实数对与之对应, 所以这个对应f:AB是从集合A到集合B的一个映射.,(3)集合Ax|x是三角形,集合Bx|x是圆,对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆;,解 由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应, 所以这个对应f:AB是从集合A到集合B的一个映射.,(4)集合Ax|x是新华中学的班级,集合Bx|x是新华中学的学生,对应关系f:每一个班级都对应班里的学生.,解答,解 新华中学的每一个班级里

8、的学生都不止一个,即与一个班级对应的学生不止一个, 所以这个对应f:AB不是从集合A到集合B的一个映射.,反思与感悟 映射是一种特殊的对应,它具有:(1)方向性:一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的.(2)唯一性:集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应,可以是:一对一,多对一,但不能一对多.,跟踪训练4 设集合Ax|1x2,By|1y4,则下述对应关系f中,不能构成从A到B的映射的是 A.f:xyx2 B.f:xy3x2 C.f:xyx4 D.f:xy4x2,答案,解析,解析 对于D,当x2时,由对应关系y4x2得y0,在集合B中没有元素与之对应,所以D选项不能构成从A

9、到B的映射.,达标检测,其中构成映射的个数为 A.3 B.4 C.5 D.6,1.如图中所示的对应:,答案,1,2,3,4,5,2.f(x)的图像如图所示,其中0x1时是一段顶点在坐标原点的抛物线,则f(x)的解析式是,1,2,3,4,5,答案,A.1 B.0 C.2 D.1,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,答案,A.1 B.0 C.1 D.,1,2,3,4,5,答案,1.对分段函数的理解 (1)分段函数是一个函数而非几个函数. 分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集,其值域是各段上“值域”的并集. (2)分段函数的图像应分段来作,特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况,以决定这些点的虚实情况. 2.函数与映射的关系 映射f:AB,其中A,B是两个非空的集合;而函数yf(x),xA,A为非空的数集,其值域也是数集.于是,函数是数集到数集的映射. 由此可知,映射是函数的推广,函数是一种特殊的映射.,规律与方法,