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苏教版高中数学必修四课件:2.1 向量的概念及表示

1、2.1 向量的概念及表示,第2章 平面向量,学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量,掌握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示,了解有向线段与向量的联系与区别,会用字母表示向量. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念,会辨识图形中这些相关的概念.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 向量的概念,思考1,在日常生活中有很多量,如面积、质量、速度、位移等,这些量有什么区别?,答案 面积、质量只有大小,没有方向;而速度和位移既有大小又有方向.,思考2,两个数量可以比较大小,那么两个向量能比较大小吗?,答案

2、数量之间可以比较大小,而两个向量不能比较大小.,答案,向量与数量 (1)向量:既有 ,又有 的量称为向量. (2)数量:只有 ,没有 的量称为数量.,梳理,大小,方向,大小,方向,思考1,知识点二 向量的表示方法,向量既有大小又有方向,那么如何形象、直观地表示出来?,答案 可以用一条有向线段表示.,思考2,0的模长是多少?0有方向吗?,答案 0的模长为0,方向任意.,答案,思考3,单位向量的模长是多少?,答案 单位向量的模长为1个单位长度.,答案,(1)向量的几何表示:向量可以用一条有向线段表示.带有 的线段叫做有向线段,它包含三个要素: 、 、 ,如图所示.,梳理,长度,长度等于1个单位,方

3、向,起点,方向,长度为0,0,思考1,知识点三 向量间的关系,已知A,B为平面上不同两点,那么向量 相等吗?它们共线吗?,答案 因为向量 方向不同,所以二者不相等.又表示它们的有向线段在同一直线上,所以两向量共线.,答案,思考2,向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗?,答案 不相同,由相等向量定义可知,向量可以任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上,所以平行向量也叫做共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行,也可以重合.,思考3,若ab,bc,那么一定有ac吗?,答案 不一定.因为当b0时,a,c可以是任意向量.,答案,(1)相等向量: 且 的向量叫做相等向量.

4、 (2)平行向量:方向 的 向量叫做平行向量. 记法:向量a平行于b,记作 . 规定:零向量与 平行. (3)共线向量:由于任意一组平行向量都可以平移到同一直线上,所以向量也叫做共线向量.也就是说,平行向量与共线向量是等价的,因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.,梳理,平行,长度相等,方向相同,相同或相反,非零,ab,任一向量,题型探究,类型一 向量的概念,例1 下列说法中,正确的是 . 向量 的长度相等; 两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同; 零向量没有方向; 任意两个单位向量都相等; 两个相等向量的起点相同,则终点也相同.,答案,解析,解析

5、 两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的方向不一定相同,终点也不一定相同; 零向量的方向不确定,并不是没有方向; 任意两个单位向量只有长度相等,方向不一定相同,故都错误,正确.,反思与感悟,解决向量概念问题一定要紧扣定义,对单位向量与零向量要特别注意方向问题.,跟踪训练1 下列说法正确的有 . 若|a|b|,则ab或ab; 向量 是共线向量,则A、B、C、D四点必在同一条直线上; 向量 是平行向量.,答案,解析,解析 错误.|a|b|仅说明a与b的模相等,不能说明它们方向的关系. 错误.共线向量即平行向量,只要方向相同或相反,并不要求两个向量必须在同一直线上,因此点A、B、C、D不一定在同一

6、条直线上. 正确.向量 是长度相等,方向相反的两个向量.,类型二 共线向量与相等向量,例2 如图所示,ABC的三边均不相等,E、F、D分别是AC、AB、BC的中点. (1)写出与 共线的向量;,解 因为E、F分别是AC、AB的中点,,又因为D是BC的中点,,解答,解答,反思与感悟,(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反. (2)共线的向量不一定相等,但相等的向量一定共线.,跟踪训练2 如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心. (1)与 的模相等的向量有多少个?,解 与 的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB), 而每一条线段可以有两个向量, 所以这样的向量共有23个.,解答,(2)是否

7、存在与 长度相等、方向相反的向量?若存在,有几个?,解 存在.由正六边形的性质可知,BCAOEF,,(3)与 共线的向量有哪些?,解 由(2)知,BCOAEF,线段OD,AD与OA在同一条直线上,,解答,类型三 向量的表示及应用,例3 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后又改变方向,向西偏北50的方向走了200 km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达D点.,解答,在四边形ABCD中,AB綊CD, 四边形ABCD为平行四边形,,解答,反思与感悟,准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.,跟踪训练3 在如图的方格

8、纸上,已知向量a,每个小正方形的边长为1. (1)试以B为终点画一个向量b,使ba;,解 根据相等向量的定义,所作向量与向量a平行,且长度相等(作图略).,(2)在图中画一个以A为起点的向量c,使|c| ,并说出向量c的终点的轨迹是什么?,解 由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心,半径为 的圆(作图略).,解答,当堂训练,1.下列结论正确的个数是 . 温度含零上和零下温度,所以温度是向量; 向量的模是一个正实数; 向量a与b不共线,则a与b都是非零向量; 若|a|b|,则ab.,1,解析 温度没有方向,所以不是向量,故错; 向量的模也可以为0,故错; 向量不可以比较大小,

9、故错; 若a,b中有一个为零向量,则a与b必共线,故a与b不共线,则应均为非零向量,故对.,1,2,3,4,答案,解析,1,2,3,4,2.有下列说法: 若向量a与向量b不平行,则a与b方向一定不相同;若ab,则a一定不与b共线; 由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行. 其中,正确说法的个数是 .,答案,解析,1,1,2,3,4,解析 对于,由共线向量的定义知,两向量不平行,方向一定不相同,故正确; 对于,因为向量不能比较大小,故错误; 对于,两个向量不相等,可能是长度不同,方向可以相同或相反,所以a与b有共线的可能,故错误; 对于,因为零向量与任一向量平行,故错误.,3.把同一平面内

10、所有模不小于1,不大于2的向量的起点,移到同一点O,则这些向量的终点构成的图形的面积等于 .,1,2,3,4,3,解析 这些向量的终点构成的图形是一个圆环,其面积为22123.,答案,解析,1,2,3,4,4. 如图所示,以12方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中.,解答,1.向量是既有大小又有方向的量,从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征,因此借助于向量,我们可以将某些代数问题转化为几何问题,又将几何问题转化为代数问题,故向量能起到数形结合的桥梁作用. 2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然,同一直线上的向量也是平行向量. 3.注意两个特殊向量零向量和单位向量,零向量与任何向量都平行,单位向量有无穷多个,起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.,规律与方法,本课结束,