1、1.3.1 三角函数的周期性,第1章 1.3 三角函数的图象和性质,学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.理解函数ysin x，ycos x，ytan x都是周期函数，都存在最小正周期. 3.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 周期函数,思考,单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由.,答案 由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象.每当角增加(或减少)2，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余
2、弦函数值也分别相同.即有sin(2x)sin x，cos(2x)cos x.故正弦函数和余弦函数也具有周期性.,答案,梳理,(1)周期函数的定义 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个 T，使得定义域内的每一个x值 ，都满足 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个 ，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.,最小的正数,非零的常数,f(xT)f(x),知识点二 正弦函数、余弦函数、正切函数的周期,思考,6是正弦函数ysin x(xR)的一个周期吗？,答案 是的.由sin(6x)sin x恒
3、成立，根据周期函数的定义，可知6是正弦函数ysin x(xR)的一个周期.,答案,梳理,(1)正弦函数、余弦函数的周期 正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k(kZ且k0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2. (2)正切函数的周期 正切函数是周期函数，最小正周期是. (3)函数yAsin(x)和yAcos(x)的周期 一般地，函数yAsin(x)和yAcos(x)(其中A，为常数， 且A0，0)的周期T .,题型探究,例1 求下列函数的周期：,类型一 求三角函数的周期,解答,(3)y|sin x|.,解 由ysin x的周期为2，可猜想y|sin x|的周期应为. 验证：|sin(x)|si
4、n x|sin x|， 由周期函数的定义知y|sin x|的周期是.,解答,反思与感悟,求三角函数的周期，通常有三种方法： (1)定义法. (2)公式法：对yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，且A0， 0)，有T . (3)观察法(图象法).,答案,解析,4,2,类型二 利用周期求函数值,解答,反思与感悟,(1)利用函数的周期性，可以把xnT(nZ)的函数值转化为x的函数值. (2)利用函数性质，将所求转化为可求的x的函数值，从而可解决求值问题.,解答,解 f(x)是周期函数，且最小正周期为，,f(x)是偶函数，,类型三 函数周期性的综合应用,例3 设f(x)是R上的奇函数，f(x
5、2)f(x)，当0x1时，f(x)x，求f(7)的值.,解 f(x2)f(x)， f(x4)f(x2)f(x)， f(x)的周期为4.又f(x)是奇函数， f(7)f(81)f(1)f(1). 又当0x1时，f(x)x， f(7)f(1)1.,解答,引申探究 将例3中的条件f(x2)f(x)改为：f(x)的图象关于x1对称，其余条件不变，求f(7)的值.,解 函数f(x)为奇函数，则f(x)f(x). 又函数f(x)的图象关于x1对称， 则f(2x)f(x)f(x)， f(4x)f (2x)2f(2x)f(x)， f(x)是以4为周期的周期函数， 从而得f(7)f(241)f(1)f(1)1.
6、,解答,反思与感悟,(1)解答此类题目的关键是利用化归思想，借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可. (2)如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质.,跟踪训练3 设函数f(x)(xR)是以2为周期的函数，且x0，2时，f(x)(x1)2. (1)求f(3)；,解 函数f(x)(xR)是以2为周期的函数，且x0，2时，f(x)(x1)2， f(3)f(32)f(1)(11)20.,解答,(2)当x2，4时，求f(x)的解析式.,解 f(x)的周期为2， 当x
7、2，4时有f(x)f(x2)， 又x20，2， f(x2)(x21)2(x3)2， f(x)(x3)2. 即x2，4时，f(x)(x3)2.,解答,当堂训练,1,2,3,4,1.下列说法中，正确的是 .(填序号) 因为sin(x)sin x，所以是函数ysin x的一个周期； 因为tan(2x)tan x，所以2是函数ytan x的最小正周期；,解析 根据周期函数的定义容易知道均是错误的，同时是正确的； 对于，我们只能得出2是函数ytan x的一个周期，但不是最小正周期.,答案,解析,1,2,3,4,答案,解析,8,1,2,3,4,答案,解析,1,2,3,4,4.求下列函数的最小正周期.,解答
8、,1,2,3,4,解答,规律与方法,1.函数周期性的理解： (1)对于“f(xT)f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内任意一个x，xT仍在定义域内且等式成立. (2)周期函数的周期不是惟一的，如果T是函数f(x)的周期，那么kT(kZ，k0)也一定是函数的周期. (3)并不是所有周期函数都有最小正周期.如常数函数f(x)C没有最小正周期.,2.求三角函数的周期，通常有三种方法： (1)定义法. (2)公式法：对yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，且A0， 0)，T . (3)观察法(图象法). 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1.,本课结束,