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苏教版高中数学必修二课件:第1章立体几何初步 章末复习

1、章末复习,第1章 立体几何初步,学习目标 1.整合知识结构,梳理知识网络,进一步巩固、深化所学知识. 2.能熟练画出几何体的直观图,能熟练地计算空间几何体的表面积和体积,体会通过展开图、截面化空间为平面的方法.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.四个公理 公理1:如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是 . 公理3:经过 的三点,有且只有一个平面. 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相 .,两点,经过这个公共点的一条直线,不在同一条直线上,平行,2.直线与直线的位置

2、关系,平行 相交,任何,共面直线,,,异面直线:不同在 一个平面内,没有公共点.,3.平行的判定与性质 (1)线面平行的判定与性质,a,a,b,ab,a,a,a,b,(2)面面平行的判定与性质,a,b, abP, a,b,, a, b,(3)空间中的平行关系的内在联系,4.垂直的判定与性质 (1)线面垂直的判定与性质,任意,mnO,a,b,ab,(2)面面垂直的判定与性质,垂线,垂直,交线,(3)空间中的垂直关系的内在联系,5.空间角 (1)异面直线所成的角 定义:设a与b是异面直线,经过空间任意一点O,作直线aa,bb,我们把a与b所成的 叫做异面直线a,b所成的角. 范围:设两异面直线所成

3、的角为,则090. (2)直线和平面所成的角 平面的一条斜线与它在这个 所成的锐角,叫做这条直线与这个平面所成的角. 一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线与平面平行或在平面内,我们说它们所成的角是0的角.,锐角(或直角),平面内的射影,(3)二面角的有关概念 二面角:一般地,一条直线和由这条直线出发的 所组成的图形叫做二面角. 二面角的平面角:一般地,以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作 的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,两个半平面,垂直于棱,6.几何体的侧面积和体积的有关计算 柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式,思考辨析 判断正误 1.简单组合

4、体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( ) 2.若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则.( ) 3.若,a,则a.( ),题型探究,类型一 空间中的平行关系,例1 如图,E,F,G,H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点,求证:(1)GE平面BB1D1D;,证明,证明 如图,取B1D1的中点O,连结GO,OB, 易证OG綊 B1C1, BE綊 B1C1, OG綊BE, 四边形BEGO为平行四边形, OBGE. 又OB平面BDD1B1, GE平面BDD1B1, GE平面BDD1B1.,(2)平面BDF平面B1D1H.,证明,证明 由正方体性

5、质得B1D1BD, B1D1平面BDF,BD平面BDF, B1D1平面BDF. 连结HB,D1F, 易证HBFD1是平行四边形,HD1BF. 又HD1平面BDF,BF平面BDF, HD1平面BDF. B1D1HD1D1, 平面BDF平面B1D1H.,反思与感悟 (1)判断线面平行的两种常用方法 利用线面平行的判定定理. 利用面面平行的性质,即当两平面平行时,其中一平面内的任一直线平行于另一平面. (2)判断面面平行的常用方法 利用面面平行的判定定理. 面面平行的传递性(,). 利用线面垂直的性质(l,l).,跟踪训练1 如图所示,四边形ABCD是平行四边形,PB平面ABCD,MAPB,PB2M

6、A.在线段PB上是否存在一点F,使平面AFC平面PMD?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.,解答,解 当点F是PB的中点时, 平面AFC平面PMD. 证明如下:如图,连结BD,和AC交于点O,连结FO. 四边形ABCD是平行四边形, O是BD的中点. OFPD. 又OF平面PMD,PD平面PMD, OF平面PMD. 又MA綊 PB,PF綊MA.,四边形AFPM是平行四边形, AFPM. 又AF平面PMD,PM平面PMD, AF平面PMD. 又AFOFF,AF平面AFC,OF平面AFC, 平面AFC平面PMD.,类型二 空间中的垂直关系,例2 如图,斜三棱柱ABCA1B1C1的底面

7、是直角三角形, ACB90,点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中 点,且BCAA1. 求证:(1)平面ACC1A1平面B1C1CB;,证明,证明 设BC的中点为M,连结B1M. 点B1在底面ABC上的射影恰好是点M, B1M平面ABC. AC平面ABC,B1MAC. 又BCAC,B1MBCM,AC平面B1C1CB. 又AC平面ACC1A1,平面ACC1A1平面B1C1CB.,(2)BC1AB1.,证明,证明 连结B1C. AC平面B1C1CB,ACBC1. 在斜三棱柱ABCA1B1C1中,BCAA1CC1. 四边形B1C1CB是菱形,B1CBC1. 又B1CACC,BC1平面ACB1, B

8、C1AB1.,反思与感悟 空间垂直关系的判定方法 (1)判定线线垂直的方法 计算所成的角为90(包括平面角和异面直线所成的角). 线面垂直的性质(若a,b,则ab). (2)判定线面垂直的方法 线面垂直定义(一般不易验证任意性). 线面垂直的判定定理(ab,ac,b,c,bcMa). 平行线垂直平面的传递性质(ab,ba). 面面垂直的性质(,l,a,ala). 面面平行的性质(a,a). 面面垂直的性质(l,l).,(3)面面垂直的判定方法 根据定义(作两平面构成二面角的平面角,计算其为90). 面面垂直的判定定理(a,a).,跟踪训练2 如图,A,B,C,D为空间四点.在ABC中,AB2,

9、ACBC ,等边ADB以AB为轴运动.(1)当平面ADB平面ABC时,求CD;,解答,解 如图,取AB的中点E,连结DE,CE, 因为ADB是等边三角形, 所以DEAB. 当平面ADB平面ABC时, 因为平面ADB平面ABCAB, 所以DE平面ABC,可知DECE.,(2)当ADB转动时,是否总有ABCD?证明你的结论.,解 当ADB以AB为轴转动时,总有ABCD. 证明如下:当D在平面ABC内时,因为ACBC,ADBD, 所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,即ABCD. 当D不在平面ABC内时, 由(1)知ABDE. 又因为ACBC,所以ABCE. 又DECEE,所以AB平面CDE,由CD

10、平面CDE, 得ABCD. 综上所述,总有ABCD.,解答,例3 如图,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC. (1)求证:DC平面PAC;,类型三 平行与垂直的综合应用,证明 PC平面ABCD,DC平面ABCD, PCDC. 又ACDC,PCACC,PC平面PAC,AC平面PAC, DC平面PAC.,证明,(2)求证:平面PAB平面PAC;,证明 ABCD,CD平面PAC, AB平面PAC,AB平面PAB, 平面PAB平面PAC.,证明,(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA平面CEF?说明理由.,解 棱PB上存在点F,使得PA平面CEF. 证明如

11、下: 取PB的中点F,连结EF,CE,CF, E为AB的中点,EF为PAB的中位线, EFPA. 又PA平面CEF,EF平面CEF, PA平面CEF.,解答,反思与感悟 平行、垂直也可以相互转化,如图.,跟踪训练3 在如图所示的几何体中,D是AC的中点, EFDB. (1)已知ABBC,AEEC.求证:ACFB;,证明 因为EFDB,所以EF与DB确定平面BDEF, 如图,连结DE.因为AEEC,D为AC的中点, 所以DEAC.同理可得BDAC. 又BDDED, 所以AC平面BDEF. 因为FB平面BDEF, 所以ACFB.,证明,(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH平面ABC.

12、,证明 设FC的中点为I,连结GI,HI. 在CEF中,因为G是CE的中点, 所以GIEF.又EFDB, 所以GIDB. 在CFB中,因为H是FB的中点,所以HIBC. 又HIGII, 所以平面GHI平面ABC, 因为GH平面GHI,所以GH平面ABC.,证明,例4 如图,从底面半径为2a,高为 a的圆柱中,挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥,求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比.,解答,类型四 空间几何体的表面积与体积,反思与感悟 空间几何体的体积与表面积的计算方法 (1)等积变换法:三棱锥也称为四面体,它的每一个面都可作底面来处理,恰当地进行换底等积变换便于问题的求解

13、. (2)割补法:像求平面图形的面积一样,割补法是求几何体体积的一个重要方法,“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体;“补”就是通过补形,使它转化为熟悉的几何体.总之,割补法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决. (3)展开法:把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形,这样便把空间问题转化为平面问题,可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题.,(4)构造法:当探究某些几何体性质较困难时,我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中,如正方体等这些对称性比较好的几何体,以此来研究所求几何体的性质.,解答,跟踪训练4 如图所示的正方

14、体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,求三棱锥A1AB1D1的高.,解 设三棱锥A1AB1D1的高为h,,达标检测,答案,解析,1.如图,AE平面,垂足为点E,BF平面,垂足为点F,l,C,D,ACl,则当BD与l_时,平面ACE平面BFD.,1,2,3,4,5,解析 当BDl时,由BFl知,l平面BDF. 又同理可得l平面ACE, 所以平面ACE平面BFD.,垂直,答案,1,2,3,4,5,解析,15,而AB6,BC9,ACABBC15.,解析,3.设m,n,l是三条不同的直线,是一个平面,lm,则下列说法正确的是_.(填序号) 若m,l,则m; 若ln,则mn; 若ln,则mn; 若mn,

15、n,则l.,1,2,3,4,5,答案,解析 若lm,ln,则m与n可能平行,也可能相交或 异面,即都不正确; 由lm,mn,可得ln,不一定有l,即不正确; 对,可在l上取一点P,过P作mm,则ml,m与l确定一个平面,a,由l,得la.又m,a,l同在平面内,则由lm,la,得ma,于是ma,又m,所以m.故填.,1,2,3,4,5,答案,解析,4.已知圆锥的母线长为10 cm,侧面积为60 cm2,则此圆锥的体积为_cm3.,96,1,2,3,4,5,解析 圆锥的侧面积为rl10r60,得r6.,5.如图所示,PA平面ABC,点C在以AB为直径的圆O上, 点E为线段PB的中点,点M在 上,

16、且OMAC.求证: (1)平面MOE平面PAC;,证明 因为点E为线段PB的中点,点O为线段AB的中点, 所以OEPA.因为PA平面PAC,OE平面PAC, 所以OE平面PAC. 因为OMAC,又AC平面PAC,OM平面PAC, 所以OM平面PAC. 因为OE平面MOE,OM平面MOE,OEOMO, 所以平面MOE平面PAC.,1,2,3,4,5,证明,(2)平面PAC平面PCB.,证明 因为点C在以AB为直径的圆O上, 所以ACB90,即BCAC. 因为PA平面ABC,BC平面ABC,所以PABC. 因为AC平面PAC,PA平面PAC,PAACA, 所以BC平面PAC. 因为BC平面PCB,所以平面PAC平面PCB.,1,2,3,4,5,证明,1.空间中平行关系的转化,规律与方法,2.空间中垂直关系的转化,3.空间角的求法 (1)找异面直线所成角的三种方法 利用图中已有的平行线平移. 利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移. 补形平移. (2)线面角:求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影,通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形.,