1、章末复习,第1章 立体几何初步,学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识. 2.能熟练画出几何体的直观图，能熟练地计算空间几何体的表面积和体积，体会通过展开图、截面化空间为平面的方法.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.四个公理 公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 . 公理3：经过 的三点，有且只有一个平面. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 .,两点,经过这个公共点的一条直线,不在同一条直线上,平行,2.直线与直线的位置
2、关系,平行 相交,任何,共面直线,，,异面直线：不同在 一个平面内，没有公共点.,3.平行的判定与性质 (1)线面平行的判定与性质,a,a，b，ab,a,a，a，b,(2)面面平行的判定与性质,a，b， abP， a，b,， a， b,(3)空间中的平行关系的内在联系,4.垂直的判定与性质 (1)线面垂直的判定与性质,任意,mnO,a,b,ab,(2)面面垂直的判定与性质,垂线,垂直,交线,(3)空间中的垂直关系的内在联系,5.空间角 (1)异面直线所成的角 定义：设a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线aa，bb，我们把a与b所成的 叫做异面直线a，b所成的角. 范围：设两异面直线所成
3、的角为，则090. (2)直线和平面所成的角 平面的一条斜线与它在这个 所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角. 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0的角.,锐角(或直角),平面内的射影,(3)二面角的有关概念 二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的 所组成的图形叫做二面角. 二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作 的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,两个半平面,垂直于棱,6.几何体的侧面积和体积的有关计算 柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式,思考辨析 判断正误 1.简单组合
4、体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( ) 2.若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.( ) 3.若，a，则a.( ),题型探究,类型一 空间中的平行关系,例1 如图，E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：(1)GE平面BB1D1D；,证明,证明 如图，取B1D1的中点O，连结GO，OB， 易证OG綊 B1C1， BE綊 B1C1， OG綊BE， 四边形BEGO为平行四边形， OBGE. 又OB平面BDD1B1， GE平面BDD1B1， GE平面BDD1B1.,(2)平面BDF平面B1D1H.,证明,证明 由正方体性
5、质得B1D1BD， B1D1平面BDF，BD平面BDF， B1D1平面BDF. 连结HB，D1F， 易证HBFD1是平行四边形，HD1BF. 又HD1平面BDF，BF平面BDF， HD1平面BDF. B1D1HD1D1， 平面BDF平面B1D1H.,反思与感悟 (1)判断线面平行的两种常用方法 利用线面平行的判定定理. 利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面. (2)判断面面平行的常用方法 利用面面平行的判定定理. 面面平行的传递性(，). 利用线面垂直的性质(l，l).,跟踪训练1 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB平面ABCD，MAPB，PB2M
6、A.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.,解答,解 当点F是PB的中点时， 平面AFC平面PMD. 证明如下：如图，连结BD，和AC交于点O，连结FO. 四边形ABCD是平行四边形， O是BD的中点. OFPD. 又OF平面PMD，PD平面PMD， OF平面PMD. 又MA綊 PB，PF綊MA.,四边形AFPM是平行四边形， AFPM. 又AF平面PMD，PM平面PMD， AF平面PMD. 又AFOFF，AF平面AFC，OF平面AFC， 平面AFC平面PMD.,类型二 空间中的垂直关系,例2 如图，斜三棱柱ABCA1B1C1的底面
7、是直角三角形， ACB90，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中 点，且BCAA1. 求证：(1)平面ACC1A1平面B1C1CB；,证明,证明 设BC的中点为M，连结B1M. 点B1在底面ABC上的射影恰好是点M， B1M平面ABC. AC平面ABC，B1MAC. 又BCAC，B1MBCM，AC平面B1C1CB. 又AC平面ACC1A1，平面ACC1A1平面B1C1CB.,(2)BC1AB1.,证明,证明 连结B1C. AC平面B1C1CB，ACBC1. 在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCAA1CC1. 四边形B1C1CB是菱形，B1CBC1. 又B1CACC，BC1平面ACB1， B
8、C1AB1.,反思与感悟 空间垂直关系的判定方法 (1)判定线线垂直的方法 计算所成的角为90(包括平面角和异面直线所成的角). 线面垂直的性质(若a，b，则ab). (2)判定线面垂直的方法 线面垂直定义(一般不易验证任意性). 线面垂直的判定定理(ab，ac，b，c，bcMa). 平行线垂直平面的传递性质(ab，ba). 面面垂直的性质(，l，a，ala). 面面平行的性质(a，a). 面面垂直的性质(l，l).,(3)面面垂直的判定方法 根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90). 面面垂直的判定定理(a，a).,跟踪训练2 如图，A，B，C，D为空间四点.在ABC中，AB2，
9、ACBC ，等边ADB以AB为轴运动.(1)当平面ADB平面ABC时，求CD；,解答,解 如图，取AB的中点E，连结DE，CE， 因为ADB是等边三角形， 所以DEAB. 当平面ADB平面ABC时， 因为平面ADB平面ABCAB， 所以DE平面ABC，可知DECE.,(2)当ADB转动时，是否总有ABCD？证明你的结论.,解 当ADB以AB为轴转动时，总有ABCD. 证明如下：当D在平面ABC内时，因为ACBC，ADBD， 所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即ABCD. 当D不在平面ABC内时， 由(1)知ABDE. 又因为ACBC，所以ABCE. 又DECEE，所以AB平面CDE，由CD
10、平面CDE， 得ABCD. 综上所述，总有ABCD.,解答,例3 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC. (1)求证：DC平面PAC；,类型三 平行与垂直的综合应用,证明 PC平面ABCD，DC平面ABCD， PCDC. 又ACDC，PCACC，PC平面PAC，AC平面PAC， DC平面PAC.,证明,(2)求证：平面PAB平面PAC；,证明 ABCD，CD平面PAC， AB平面PAC，AB平面PAB， 平面PAB平面PAC.,证明,(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由.,解 棱PB上存在点F，使得PA平面CEF. 证明如
11、下： 取PB的中点F，连结EF，CE，CF， E为AB的中点，EF为PAB的中位线， EFPA. 又PA平面CEF，EF平面CEF， PA平面CEF.,解答,反思与感悟 平行、垂直也可以相互转化，如图.,跟踪训练3 在如图所示的几何体中，D是AC的中点， EFDB. (1)已知ABBC，AEEC.求证：ACFB；,证明 因为EFDB，所以EF与DB确定平面BDEF， 如图，连结DE.因为AEEC，D为AC的中点， 所以DEAC.同理可得BDAC. 又BDDED， 所以AC平面BDEF. 因为FB平面BDEF， 所以ACFB.,证明,(2)已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH平面ABC.
12、,证明 设FC的中点为I，连结GI，HI. 在CEF中，因为G是CE的中点， 所以GIEF.又EFDB， 所以GIDB. 在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC. 又HIGII， 所以平面GHI平面ABC， 因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.,证明,例4 如图，从底面半径为2a，高为 a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比.,解答,类型四 空间几何体的表面积与体积,反思与感悟 空间几何体的体积与表面积的计算方法 (1)等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解
13、. (2)割补法：像求平面图形的面积一样，割补法是求几何体体积的一个重要方法，“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体；“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体.总之，割补法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决. (3)展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题.,(4)构造法：当探究某些几何体性质较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质.,解答,跟踪训练4 如图所示的正方
14、体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，求三棱锥A1AB1D1的高.,解 设三棱锥A1AB1D1的高为h，,达标检测,答案,解析,1.如图，AE平面，垂足为点E，BF平面，垂足为点F，l，C，D，ACl，则当BD与l_时，平面ACE平面BFD.,1,2,3,4,5,解析 当BDl时，由BFl知，l平面BDF. 又同理可得l平面ACE， 所以平面ACE平面BFD.,垂直,答案,1,2,3,4,5,解析,15,而AB6，BC9，ACABBC15.,解析,3.设m，n，l是三条不同的直线，是一个平面，lm，则下列说法正确的是_.(填序号) 若m，l，则m； 若ln，则mn； 若ln，则mn； 若mn，
15、n，则l.,1,2,3,4,5,答案,解析 若lm，ln，则m与n可能平行，也可能相交或 异面，即都不正确； 由lm，mn，可得ln，不一定有l，即不正确； 对，可在l上取一点P，过P作mm，则ml，m与l确定一个平面，a，由l，得la.又m，a，l同在平面内，则由lm，la，得ma，于是ma，又m，所以m.故填.,1,2,3,4,5,答案,解析,4.已知圆锥的母线长为10 cm，侧面积为60 cm2，则此圆锥的体积为_cm3.,96,1,2,3,4,5,解析 圆锥的侧面积为rl10r60，得r6.,5.如图所示，PA平面ABC，点C在以AB为直径的圆O上， 点E为线段PB的中点，点M在 上，
16、且OMAC.求证： (1)平面MOE平面PAC；,证明 因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点， 所以OEPA.因为PA平面PAC，OE平面PAC， 所以OE平面PAC. 因为OMAC，又AC平面PAC，OM平面PAC， 所以OM平面PAC. 因为OE平面MOE，OM平面MOE，OEOMO， 所以平面MOE平面PAC.,1,2,3,4,5,证明,(2)平面PAC平面PCB.,证明 因为点C在以AB为直径的圆O上， 所以ACB90，即BCAC. 因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC. 因为AC平面PAC，PA平面PAC，PAACA， 所以BC平面PAC. 因为BC平面PCB，所以平面PAC平面PCB.,1,2,3,4,5,证明,1.空间中平行关系的转化,规律与方法,2.空间中垂直关系的转化,3.空间角的求法 (1)找异面直线所成角的三种方法 利用图中已有的平行线平移. 利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移. 补形平移. (2)线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形.,