1、1.2.2 空间两条直线的位置关系,第1章 1.2 点、线、面之间的位置关系,学习目标 1.了解两条直线的三种位置关系. 2.理解异面直线的定义及判定，能判断两条直线是不是异面直线. 3.理解公理4和等角定理，并会用公理4证明线线平行. 4.理解异面直线所成的角的概念.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 空间两条直线的位置关系,思考 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？ 观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？,答案 平行与相交. 教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.,梳理 空间两条直线的位置关系,同一,同一
2、,任何一个,一,知识点二 异面直线的判断,思考 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？,答案 不一定，可能平行、相交或异面.,梳理 判断异面直线的方法,知识点三 平行公理(公理4),思考 在平面内有直线a，b，c，若ab，bc，则ac，该结论在空间中是否成立？,答案 成立.,梳理 平行公理 (1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行.,知识点四 等角定理及异面直线所成的角,思考1 观察图象，在平行六面体ABCDABCD中，ADC与ADC，ADC与DAB的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？,答案 从图中可以看出，ADCADC，ADCDAB180.,思考2 在平行六面体A1B
3、1C1D1ABCD中，BC1AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？,答案 相等.,梳理 (1)等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别 并且方向 ，那么这两个角 . (2)异面直线所成的角,平行,相同,相等,锐角(或直角),090,90,ab,思考辨析 判断正误 1.两直线若不是异面直线，则必相交或平行.( ) 2.若ABAB，ACAC，则BACBAC.( ),题型探究,例1 如图，已知在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；,类型一 公理4与等角定理的应用,证明,
4、证明 如图 ，连结AC，在ACD中， M，N分别是CD，AD的中点， MN是ACD的中位线， MNAC，且MN AC. 由正方体的性质， 得ACA1C1，且ACA1C1. MNA1C1，且MN A1C1， 即MNA1C1， 四边形MNA1C1是梯形.,(2)DNMD1A1C1.,证明,证明 由(1)可知，MNA1C1. 又NDA1D1，且DNM与D1A1C1的两边的方向相同， DNMD1A1C1.,反思与感悟 (1)空间两条直线平行的证明 定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点. 利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行. (2)等角定理的结论是相等，在实际应用时，一
5、般是借助于图形判断两角的两边方向是否相同.,跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中， M，M1分别是棱AD和A1D1的中点.求证： (1)四边形BB1M1M为平行四边形；,证明,证明 在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点， A1M1AM，且A1MAM， 四边形AMM1A1为平行四边形，A1AM1M，且A1AM1M. 又A1AB1B，A1AB1B， M1MB1B，且M1MB1B， 四边形BB1M1M为平行四边形.,(2)BMCB1M1C1.,证明,证明 由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形， B1M1BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形， C
6、1M1CM. 由平面几何知识可知，BMC和B1M1C1都是锐角. BMCB1M1C1.,类型二 异面直线的判断,例2 (1)在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互为异面的有_对.,解析 与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线428(对).,8,答案,解析,解答,(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？,解 三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH. 还原的正方体如图所示.,反思与感悟 判定异面直线的方法 (1)定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不
7、平行，也不相交，即不可能同在同一个平面内. (2)利用异面直线的判定定理. (3)反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可.,解析 因为直线DC平面BCD，直线AB平面BCD，点B直线DC，所以由异面直线的判定定理可知，正确； 同理，正确.,跟踪训练2 如图所示，在三棱锥ABCD中，E，F是棱AD上异于A，D的两个不同点，G，H是棱BC上异于B，C的两个不同点，给出下列说法： AB与CD互为异面直线； FH分别与DC，DB互为异面直线； EG与FH互为异面直线； EG与AB互为异面直线. 其中说法正确的是_.(填序号)
8、,答案,解析,达标检测,答案,解析,1.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是_.,1,2,3,4,5,解析 异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，异面直线a，b，直线c的位置可如图所示.,相交、平行或异面,答案,解析,2.下列四个结论中错误命题的个数是_. 垂直于同一直线的两条直线互相平行； 平行于同一直线的两直线平行； 若直线a，b，c满足ab，bc，则ac； 若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线.,1,2,3,4,5,2,解析 均为错误命题. 可举反例，如a，b，c三线两两垂直. 如图甲，c，d与异面直线l1，l2交于四个点
9、，此时c，d异面； 当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合 的情形，如图乙所示，此时c，d共面相交.,1,2,3,4,5,答案,3.在三棱锥的所有棱中，互为异面直线的有_对.,3,1,2,3,4,5,解析 如图，在三棱锥ABCD中，AB与CD异面，BC与AD异面，AC与BD异面，所以有3对异面直线.,解析,答案,解析,4.如图所示，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足_时，四边形EFGH为菱形；当AC，BD满足_时，四边形EFGH是正方形.,ACBD,1,2,3,4,5,解析 由题意可得EFACHG，且EF ACHG，
10、 四边形EFGH为平行四边形， 又EHBDFG，且EH BDFG， 当EFFG，即ACBD时，四边形EFGH为菱形； 当EFFG且EFFG，即ACBD且ACBD时，四边形EFGH为正方形.,ACBD且ACBD,证明,1,2,3,4,5,5.如图所示，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.(1)求证：E，F，G，H四点共面；,1,2,3,4,5,证明 如图所示，连结EF，FG，GH，HE， 在ABD中， E，H分别是AB，AD的中点， EHBD，且EH BD. 同理FGBD，且FG BD， EHFG，且EHFG，E，F，G，H四点共面.,1,2,3,4,5,
11、证明,(2)若ACBD，求证：四边形EFGH是矩形.,证明 由(1)知EHFG，且EHFG， 四边形EFGH为平行四边形. HG是ADC的中位线，HGAC. 又EHBD，ACBD，EHHG， 四边形EFGH为矩形.,1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.对于异面直线的判断，常用判定定理和反证法. 2.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0，90，在解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小.,规律与方法,作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：直接平移法(可利用图中已有的平行线)；中位线平移法；补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).,