1、3.4.2 函数模型及其应用,第3章 3.4 函数的应用,1.会利用已知函数模型解决实际问题. 2.能建立函数模型解决实际问题.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 常见函数模型,知识点二 解决函数应用问题的基本步骤,利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原. 这些步骤用框图表示如图：,返回,题型探究 重点突破,解析答案,题型一 一次函数、二次函数模型,例1 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足
2、一次函数： m1623x，若要每天获得 最大的销售利润，每件商品的售价应定为_元.,解析 设每天获得的利润为y元， 则y(x30)(1623x)3(x42)2432， 当x42时，获得利润最大，应定价为42元.,42,反思与感悟,一次函数、二次函数均是重要的函数模型，特别是二次函数模型在函数建模中占有重要的地位.利用二次函数求最值时要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练1 某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是_元.,解析 由题意可知，收入y是销售量x的一次函数， 设yax
3、b，将(1,800)，(2,1 300)代入，得a500，b300. 当销售量为x0时，y300.,300,解析答案,题型二 指数型函数、对数型函数模型,例2 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数,单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量. (1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？,解 由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得,解得Q10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位.,(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？,解 将耗氧量Q80代入公式得：,即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为15 m/
4、s.,反思与感悟,解析答案,指数型函数模型：ymaxb(a0且a1，m0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示.对数型函数模型：ymlogaxc(m0，a0且a1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解.,反思与感悟,跟踪训练2 某城市2009年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答以下问题： (1)写出经过x年后，该城市人口总数y(万人)与x(年)的函数关系；,解析答案,解 2009年底人口总数为100万人， 经过1年，2010年底人口总数为 1001001.2%100(11.2%)， 经过2年，201
5、1年底人口总数为 100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2， 经过3年，2012年底人口总数为 100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3， 所以经过x年后，该城市人口总数为100(11.2%)x， 所以y100(11.2%)x.,解析答案,(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；,解 10年后该城市人口总数为 100(11.2%)10112.7(万人).,(3)计算经过多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年). (参考数据：1.01291.113,1.012101.127，lg 1.20.079，lg 2
6、0.301 0，lg 1.0120.005),解 由题意得100(11.2%)x120， 两边取常用对数得lg100(11.2%)xlg 120， 整理得2xlg 1.0122lg 1.2，得x16， 所以大约16年以后，该城市人口将达到120万人.,题型三 分段函数模型,例3 如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD2，BC1，BAD45，直线MNAD交AD于M，交折线ABCD于N，记AMx，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域和值域.,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,解析答案,解 如图，过B，C分别作AD的垂线，垂足分别为H和G，,当M位于H左侧时
7、，AMx，MNx，,当M位于H，G之间时，,反思与感悟,所求函数的关系式为,当M位于G，D之间时，,(1)分段函数模型是日常生活中常见的函数模型.对于分段函数，一要注意规范书写格式；二要注意各段的定义域的表示方法，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”，以保证在各分点的“不重不漏”. (2)解决分段函数问题需注意几个问题：所有分段的区间的并集就是分段函数的定义域.求分段函数的函数值时，先要弄清自变量在哪个区间内取值，然后再用该区间上的解析式来计算函数值.一般地，分段函数由几段组成，必须注意考虑各段的自变量的取值范围.,反思与感悟,跟踪训练3 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受
8、能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：,解析答案,解 当0x10时，f(x)0.1x22.6x430.1(x13)259.9. 故f(x)在(0,10上单调递增，最大值为f(10)0.1(3)259.959； 当16x30时，f(x)单调递减， f(x)31610759. 因此，开讲后10 min，学生达到最强的接受能力(值为5
9、9)，并维持6 min.,(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？,解析答案,(2)开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能力何时强一些？,解 f(5)0.1(513)259.959.96.453.5， f(20)3201074753.5f(5). 因此，开讲后5 min学生的接受能力比开讲后20 min强一些.,解析答案,(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？,解 当0x10时，令f(x)55， 则0.1(x13)24.9，(x13)249. 所以x20或x6.但0x10，故x
10、6.,当16x30时，令f(x)55，,则3x10755.,因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为,所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题.,题型四 拟合函数模型的应用,例4 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示.,解析答案,(1)描点画出灌溉面积y(hm2)随积雪深度x(cm)变化的图象；,解 描点作图如图甲.,解析答案,(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型yf(x)，并画出图象；,解 从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近， 由此
11、，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型yaxb. 取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，,用计算器可算得a1.8，b2.4. 这样，我们得到一个函数模型y1.8x2.4.,作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.,解析答案,反思与感悟,(3)根据所建立的函数模型，求最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉的土地数量.,解 由y1.8252.4，求得y47.4， 即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4 hm2.,反思与感悟,对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系
12、式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤： (1)根据原始数据，绘出散点图； (2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据.,跟踪训练4 我国1999年至2002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：,(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；,解析答案,解 画出函数图形，如图.从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直
13、线上.,设所求的函数为ykxb， 把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式， 解方程组，可得k0.677 7，b8.206 7. 因此，所求的函数关系式为 yf(x)0.677 7x8.206 7.,(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较.,解 由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为 f(1)0.677 718.206 78.884 4， f(2)0.677 728.206 79.562 1. 与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元.,解析答案,建立函数模型时忽略自变量的取值范围致误,易错点,解析答案,例5 国庆期
14、间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30， 游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠： 每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.旅行社需付给 航空公司包机费每团15 000元.,(1)写出飞机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式；,解析答案,(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？,解析答案,解 设旅行社获利S元，则,因为S900x15 000在区间(0,30上为增函数， 所以当x30时，S取最大值12 000元， 又S10(x60)221 000在区间(30,75上， 当x60时，S取得最大值21 000. 故当每
15、团人数为60时，旅行社可获得最大利润.,纠错心得 (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决， 但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错.,(2)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题.,解析答案,跟踪训练5 某公司生产一种产品的固定成本为0.5万元，但每生产100件需要增加投入0.25万元，市场对此产品的需要量为500件，销售收入为函数,万元，其中x是产品售出的数量(单位：百件).,(1)把利润表示为年产量的函数f(x)；,解 设年产量为x(百件)，,解析答案,(2)年产量为多少时，当年公司所得利润最大？,当x5时，函数f(x)为单调递减函数.,当年产量为475件时，公司所得利
16、润最大.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.,现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的_. ylog2x; y2x； yx2; y2x.,解析 逐个检验可得答案为.,1,2,3,4,5,2.一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是_.,答案,y120t(t0),1,2,3,4,5,答案,3.小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的
17、是_.,1,2,3,4,5,解析答案,4.里氏震级M的计算公式为：Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_倍.,1,2,3,4,5,解析 由Mlg Alg A0知，Mlg 1 000lg 0.0016， 所以此次地震的级数为6级.设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，,所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍.,答案 6 10 000,1,2,3,4,5,解析答案,
18、5.用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是_ m2.,解析 设矩形的一边长为x m，,当x3 m时，S最大9 m2.,9,课堂小结,1.函数模型的应用实例主要包括三个方面： (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定性的函数模型解决实际问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题. 2.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求. 3.在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化.,4.根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示.,返回,