1、第2课时 指数函数及其性质的应用,第3章 3.1.2指数函数,1.理解指数函数的单调性与底数的关系. 2.能运用指数函数的单调性解决一些问题. 3.会用指数函数模型解决简单的实际问题.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 指数型复合函数y (a0且a1)的单调性,答案,1.复合函数yf(g(x)的单调性：当yf(x)与ug(x)有相同的单调性时，函数yf(g(x)单调 ，当yf(x)与ug(x)的单调性相反时，函数yf(g(x)单调 ，简称为 . 2.当a1时，函数yaf(x)与yf(x)具有 的单调性；当0a1时，函数
2、yaf(x)与函数yf(x)的单调性 .,递增,递减,同增异减,相同,相反,知识点二 指数型函数ykax(kR且k0，a0且a1)模型,1.指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则yN(1p)x(xN). 2.指数减少模型 设原有量为N，每次的减少率为p，经过x次减少，该量减少到y，则yN(1p)x(xN).,返回,题型探究 重点突破,解析答案,题型一 利用指数型函数的单调性比较大小,例1 比较下列各组中两个值的大小： (1)1.72.5,1.73；,解 (单调性法)由于1.72.5与1.73的底数都是1.7，故构造函数y1.7x， 则函数y1.7x在R上是
3、增加的. 又2.53，所以1.72.51.5，所以0.61.20.61.5.,(3)2.30.28,0.673.1.,解 (中间量法)由指数型函数的性质， 知2.30.280.6701， 所以2.30.280.2，,所以0.80.11， 又00.5x(1xx6，,根据相应二次函数的图象可得x5； 当a1时，函数f(x)ax(a0，a1)在R上是增函数， x23x15； 当a1时，1x0，,解析答案,(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式. (1)解不等式af(x)ag(x)(a0，a1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，
4、就需进行分类讨论，,反思与感悟,跟踪训练2 (1)不等式4x423x的解集是 .,解析 由4x423x，得x23x，,解析答案,解析 因为0a2.,x|x2,题型三 指数型函数的单调性,解析答案,ux22x(x1)21在(，1上递减，在1，)上递增，,ux22x(x1)211，,原函数的值域为(0,3.,反思与感悟,(1)关于指数型函数yaf(x)(a0，且a1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0a1；二是f(x)的单调性，它由两个函数yau，uf(x)复合而成. (2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成yf(u)，u(x)，通过考查f(u)和(x)的单调性，求出
5、yf(x)的单调性.,反思与感悟,跟踪训练3 求函数y 的单调区间.,解析答案,令ux22x，则y2u. 当x(，1时，函数ux22x为增函数，函数y2u是增函数，,当x1，)时，函数ux22x为减函数，函数y2u是增函数，,题型四 有关指数函数的应用问题,解析答案,例4 1980年，我国人均收入255美元，若到2000年人民生活达到小康水平，即人均收入达到817美元，则年平均增长率是多少(精确到1%)？若不低于此增长率递增，则到2010年人均收入至少为多少美元(精确到1美元)?,解 设年平均增长率为x，由题意得255(1x)20817，,年平均增长率应是6%.,设2010年人均收入为y美元，
6、,则y255(16%)302555.74351 465(美元).,若不低于此增长率递增，则到2010年人均收入至少为1 465美元.,反思与感悟,反思与感悟,应注意指数型函数模型yN(1P)x(p0)的运用.,解析答案,跟踪训练4 某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期为x的本利和(本金加上利息)为y元. (1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式为 ；,解析 ya(1r)x，xN*.,ya(1r)x，xN*,(2)如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，则计算5期后的本利和为 .,解析 将a1 000元，r2.25%，x5代入上式， 得y1 000(12.25%)
7、51 0001.022 551 117.68(元). 即5期后本利和约为1 117.68元.,1 117.68元,利用图象解决复合函数的单调性,解决思想方法,解析答案,反思与感悟,因为u0，所以f(u)是增函数.,解析答案,反思与感悟,所以f(g(x)的单调递增区间为0，)，单调递减区间为(，0.,反思与感悟,反思与感悟,求复合函数yf(g(x)的单调区间时，如果内函数yg(x)的图象容易画出，那么就可以通过图象求出这个函数的单调区间，从而简化解题过程.,解析答案,解析答案,(2)由图象指出其单调区间；,解 由图象观察知函数在(，2上是增函数， 在(2，)上是减函数.,(3)由图象指出，当x取
8、什么值时，函数有最大值或最小值.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.已知a0.80.7，b0.80.9，c1.20.8，则a，b，c的大小关系是 .,解析 先由函数y0.8x判断前两个数的大小，再用“1”作为中间量比较1.20.8与其他两个数的大小.,c a b,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,R,解析答案,解析 定义域为R.,u1x在(，)上为减函数.,1,2,3,4,5,解析答案,由f(m)f(n)可知mn.故填mn.,mn,1,2,3,4,5,解析答案,课堂小结,1.比较两个指数式值大小的主要方法 (1)比较形如am与an的大小，可运用指数型函数yax的单调性. (2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则ambn；若amc且cbn，则ambn. 2.指数型函数单调性的应用 (1)形如yaf(x)的函数的单调性：令uf(x)，xm，n，如果两个函数yau与uf(x)的单调性相同，则函数yaf(x)在m，n上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数yaf(x)在m，n上是减函数. (2)形如axay的不等式，当a1时，axayxy；当0a1时，axayxy.,返回,