1、第1课时 函数的单调性,第2章 2.2.1 函数的单调性,1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法. 2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 单调增函数与单调减函数的定义,一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间IA，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调增(减)函数，I称为yf(x)的单调增(减)区间.,知识点二 单
2、调性与单调区间,如果函数yf(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，就说函数yf(x) 在区间I上具有 ，区间I称为单调区间.,单调性,思考 (1)任何函数在定义域上都具有单调性吗？,答案,(2)若函数f(x)在定义域内的两个区间D1，D2上都是减函数，那么f(x)的 减区间能写成D1D2吗？,返回,答案,解析答案,反思与感悟,题型探究 重点突破,例1 画出函数yx22|x|1的图象并写出函数的单调区间.,题型一 求函数的单调区间,函数的大致图象如图所示，,单调增区间为(，1，0,1，单调减区间为1,0，1，).,(1)作出函数的图象，利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间，但要注意图象一
3、定要画准确. (2)函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域. (3)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接.,反思与感悟,解析答案,由图象可知：函数的单调递减区间为(，1和(1,2； 单调递增区间为2，).,题型二 函数单调性的判定与证明,解析答案,反思与感悟,证明 设任意的x1，x2(0,1)，且x10，,反思与感悟,利用定义证明函数单调性的步骤如下： (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2； (2)作差变形：作差f(x1)f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判
4、断正负的式子； (3)定号：确定f(x1)f(x2)的符号； (4)结论：根据f(x1)f(x2)的符号及定义判断单调性.,反思与感悟,解析答案,证明 任取x1，x2(1，)，且x1x2.,x2x11， x2x10，(x11)(x21)0， f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)， 函数f(x)在(1，)上为减函数.,题型三 函数单调性的简单应用,解析答案,例3 已知函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上是减函数，求实数a的取值范围.,解 f(x)x22(1a)x2 x(1a)22(1a)2， f(x)的减区间是(，1a. f(x)在(，4上是减函数， 对称轴x1a必须在直线x4
5、的右侧或与其重合. 1a4，解得a3.,反思与感悟,反思与感悟,(1)二次函数是常见函数，遇到二次函数后就配方找对称轴，画出图象，会给研究问题带来很大的方便. (2)已知函数单调性求参数的取值范围，要注意数形结合，采用逆向思维方法.,解析答案,跟踪训练3 函数f(x)x22ax1在(，2)上是增函数，则实数a的取值范围是_.,解析 f(x)x22ax1(xa)21a2， 抛物线开口向下，对称轴xa2时，f(x)在(，2)上是增函数， 所以实数a的取值范围是a2.,a2,忽视函数定义域致误,易错点,解析答案,例4 已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，则实数a的取
6、值范围为_.,错解 f(x)在(1,1)上是减函数， 且f(1a)f(2a1)，,错解分析 忽视函数的定义域.,解得0a1.,又f(x)在(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，,解析答案,易错警示 解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题，关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”，从而转化为熟悉的不等式.具体做法是： (1)若函数yf(x)在区间D上是增函数，对任意x1，x2D，且f(x1)x2，但需要注意的是，不要忘记函数的定义域.,跟踪训练4 已知f(x)是定义在1,1上的单调递增函数，若f(a)f(23a)，则a的取值范围是_.,解析答案,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答
7、案,当ab时，f(a)f(2a)； f(a3)f(a2)； f(a2)f(a).,解析 因为函数f(x)是增函数，且a3a2， 所以f(a3)f(a2).,1,2,3,4,5,解析答案,4.函数yf(x)在R上为增函数，且f(2m)f(m9)，则实数m的取值范围是_.,解析 因为函数yf(x)在R上为增函数，且f(2m)f(m9)， 所以2mm9，即m3.,m3,1,2,3,4,5,解析答案,5.函数yx|x1|的单调递增区间是_.,(， ，1，),如图，,课堂小结,1.对函数单调性的理解 (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性. (2)单调性
8、是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1x2).,(4)并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性. 2.单调性的证明方法 证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤： (1)设元：设x1，x2D且x1x2； (2)作差：将函数值f(x1)与f(x2)作差； (3)变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形； (4)判号：对上述变形的结果的正、负加以判断； (5)定论：对f(x)的单调性作出结论.其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号.,