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人教A版高中数学选修2-3课件:第一章计数原理 习题课 两个计数原理与排列、组合

1、习题课 两个计数原理与排列、组合,第一章 计数原理,学习目标 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.进一步深化排列与组合的概念. 3.能综合运用排列、组合解决计数问题.,题型探究,内容索引,当堂训练,题型探究,命题角度1 “类中有步”的计数问题 例1 电视台在某节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有_种不同的结果.,类型一 两个计数原理的应用,答案,解析,28 800,解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星,决定了后边选幸运伙伴是不

2、同的,故要分两类分别计算: (1)幸运之星在甲箱中抽,先确定幸运之星,再在两箱中各确定一名幸运伙伴,有30292017 400(种)结果; (2)幸运之星在乙箱中抽,同理有20193011 400(种)结果. 因此共有17 40011 40028 800(种)不同结果.,用流程图描述计数问题,类中有步的情形如图所示:,反思与感悟,具体意义如下: 从A到B算作一件事的完成,完成这件事有两类办法,在第1类办法中有3步,在第2类办法中有2步,每步的方法数如图所示.,所以,完成这件事的方法数为m1m2m3m4m5, “类”与“步”可进一步地理解为: “类”用“”号连接,“步”用“”号连接,“类”独立,

3、“步”连续,“类”标志一件事的完成,“步”缺一不可.,解析 将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4. 因为1,2,3之间不能同色,1与4可以同色, 因此,要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况. 故不同的着色方法种数为432432148.故选D.,跟踪训练1 现有4种不同颜色,要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有 A.24种 B.30种 C.36种 D.48种,解析,答案,命题角度2 “步中有类”的计数问题 例2 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下

4、午各测试一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测一人,则不同的安排方式共有_种.(用数字作答),答案,解析,264,解析 上午总测试方法有432124(种);我们以A、B、C、D、E依次代表五个测试项目. 若上午测试E的同学下午测试D,则上午测试A的同学下午只能测试B、C,确定上午测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种; 若上午测试E的同学下午测试A、B、C之一,则上午测试A、B、C中任何一个的同学下午都可以测试D,安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了,故共有339(种)测试方法, 即下午的测试方法共有11种, 根据分步乘

5、法计数原理,总的测试方法共有2411264(种).,用流程图描述计数问题,步中有类的情形如图所示:,反思与感悟,从计数的角度看,由A到D算作完成一件事,可简单地记为AD. 完成AD这件事,需要经历三步,即AB,BC,CD.其中BC这步又分为三类,这就是步中有类. 其中mi(i1,2,3,4,5)表示相应步的方法数. 完成AD这件事的方法数为m1(m2m3m4)m5. 以上给出了处理步中有类问题的一般方法.,跟踪训练2 如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式共有A.11 B.12 C.20 D.21,解析,答案,解析 根据题意,设5个开关依次为1、2、3、4、5,若电路接通,则开关1、2与3、

6、4、5中至少有1个接通,,对于开关1、2,共有224(种)情况,其中全部断开的有1种情况,则其至少有1个接通的有413(种)情况, 对于开关3、4、5,共有2228(种)情况,其中全部断开的有1种情况,则其至少有1个接通的有817(种)情况, 则电路接通的情况有3721(种).故选D.,例3 3个女生和5个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起,有多少种不同的排法?,解 (捆绑法)因为3个女生必须排在一起,所以可先把她们看成一个整体,这样同5个男生合在一起共有6个元素,排成一排有 种不同排法. 对于其中的每一种排法,3个女生之间又有 种不同的排法, 因此共有 4 320(种)不同的排法.

7、,类型二 有限制条件的排列问题,解答,(2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法?,解 (插空法)要保证女生全分开,可先把5个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空,这样共有4个空,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有6个位置,再把3个女生插入这6个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻. 由于5个男生排成一排有 种不同的排法,对于其中任意一种排法, 从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有 种方法, 因此共有 14 400(种)不同的排法.,解答,(3)如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法?,解答,(4)如果两端不能都排女生,有多少种不同的排法?,解

8、答,(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻),有多少种不同的排法?,解答,(1)排列问题的限制条件一般表现为:某些元素不能在某个位置,某个位置只能放某些元素等.要先处理特殊元素或先处理特殊位置,再去排其他元素.当用直接法比较麻烦时,可以用间接法,先不考虑限制条件,把所有的排列数算出,再从中减去全部不符合条件的排列数,这种方法也称为“去杂法”,但必须注意要不重复,不遗漏(去尽). (2)对于某些特殊问题,可采取相对固定的特殊方法,如相邻问题,可用“捆绑法”,即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列,再进行内部排列;不相邻问题,则用“插空法”,即先排其他元素,再将不相邻元素排入形成的空位中.,反思

9、与感悟,跟踪训练3 用0到9这10个数字: (1)可以组成多少个没有重复数字的四位数?在这些四位数中,奇数有多少个?,解答,解 0到9这10个数字构成的三位数共有900个,分为三类: 第1类:三位数字全相同,如111,222,999,共9个;第2类:三位数字全不同,共有998648(个), 第3类:由间接法可求出,只含有2个相同数字的三位数,共有9009648243(个).,(2)可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数?,解答,命题角度1 不同元素的排列、组合问题 例4 有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.

10、如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有多少种?,类型三 排列与组合的综合应用,解答,解 分三类:,(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列. (2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点: 元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是组合问题,有序的问题是排列问题. 对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,然后再考虑是分类还是分步,这是处理排列、组合综合问题的一般方法.,反思与感悟,跟踪训练4 从1,3,5,7,9中任取3个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,一共可以组成多少个没有

11、重复数字的五位偶数?,解答,解 (1)五位数中不含数字0.,(2)五位数中含有数字0.,所以符合条件的偶数个数为,命题角度2 含有相同元素的排列、组合问题 例5 将10个优秀名额分配到一班、二班、三班3个班级中,若各班名额数不小于班级序号数,则共有_种不同的分配方案.,解析 先拿3个优秀名额分配给二班1个,三班2个,这样原问题就转化为将7个优秀名额分配到3个班级中,每个班级中至少分配到1个. 利用“隔板法”可知,共有 15(种)不同的分配方案.,答案,解析,15,凡“相同小球放入不同盒中”的问题,即为“n个相同元素有序分成m组(每组的任务不同)”的问题,一般可用“隔板法”求解: (1)当每组至

12、少含一个元素时,其不同分组方式有N 种,即将n个元素中间的n1个空格中加入m1个“隔板”. (2)任意分组,可出现某些组含元素为0个的情况,其不同分组方式有N 种,即将n个相同元素与m1个相同“隔板”进行排序,在nm1个位置中选m1个安排“隔板”.,反思与感悟,跟踪训练5 用2,3,4,5,6,7六个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为_.,解析 用间接法:六个数字能构成的三位数共666216(个),而无重复数字的三位数共有 654120(个). 故所求的三位数的个数为21612096.,答案,解析,96,当堂训练,1.李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙

13、.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则不同的选择方式有 A.24种 B.14种 C.10种 D.9种,2,3,4,5,1,解析,解析 由题意可得李芳不同的选择方式有43214(种).故选B.,答案,2.设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种,这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种,则(a,b)为,2,3,4,5,1,解析,解析 首先每名学生报名有3种选择,有4名学生,根据分步乘法计数原理知共有34种选择,每项冠军有4种可能的结果,3项冠军根据分步乘法计数原理知共有43种可能结果,故选C.,答案,3.从0,2,4中取一个数字,从1,3,

14、5中取两个数字,组成无重复数字的三位数,则所有不同的三位数的个数是 A.48 B.50 C.52 D.54,2,3,4,5,1,解析,答案,2,3,4,5,1,共有361248(种)排法,故选A.,4.某电视台连续播放5个广告,其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告,要求最后播放的必须是公益宣传广告,且2个公益宣传广告不能连续播放,则不同的播放方式有_种.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 先安排后2个,再安排前3个,由分步乘法计数原理知, 共有 36(种)不同的播放方式.,36,2,3,4,5,1,5.已知xi1,0,1,i1,2,3,4,5,6,则满足x1x2x3x4x5x6

15、2的数组(x1,x2,x3,x4,x5,x6)的个数为_.,答案,解析,解析 根据题意,x1x2x3x4x5x62,xi1,0,1,i1,2,3,4,5,6, xi中有2个1和4个0,或3个1、1个1和2个0,或4个1和2个1,共有 90(个), 满足x1x2x3x4x5x62的数组(x1,x2,x3,x4,x5,x6)的个数为90.,90,规律与方法,1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理,是解答排列、组合问题,尤其是较复杂的排列、组合问题的基础. 2.解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素,或充分利用元素的性质进行分类、分步,再利用两个基本计数原理作最后处理. 3.对于较难直接解决的问题则可用间接法,但应做到不重不漏. 4.对于分配问题,解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关,对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的重复或遗漏.,本课结束,