1、习题课 两个计数原理与排列、组合,第一章 计数原理,学习目标 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.进一步深化排列与组合的概念. 3.能综合运用排列、组合解决计数问题.,题型探究,内容索引,当堂训练,题型探究,命题角度1 “类中有步”的计数问题 例1 电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有_种不同的结果.,类型一 两个计数原理的应用,答案,解析,28 800,解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不
2、同的，故要分两类分别计算： (1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30292017 400(种)结果； (2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20193011 400(种)结果. 因此共有17 40011 40028 800(种)不同结果.,用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：,反思与感悟,具体意义如下： 从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示.,所以，完成这件事的方法数为m1m2m3m4m5， “类”与“步”可进一步地理解为： “类”用“”号连接，“步”用“”号连接，“类”独立，
3、“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可.,解析 将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4. 因为1,2,3之间不能同色，1与4可以同色， 因此，要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况. 故不同的着色方法种数为432432148.故选D.,跟踪训练1 现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 A.24种 B.30种 C.36种 D.48种,解析,答案,命题角度2 “步中有类”的计数问题 例2 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下
4、午各测试一个项目，且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有_种.(用数字作答),答案,解析,264,解析 上午总测试方法有432124(种)；我们以A、B、C、D、E依次代表五个测试项目. 若上午测试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B、C，确定上午测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种； 若上午测试E的同学下午测试A、B、C之一，则上午测试A、B、C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有339(种)测试方法， 即下午的测试方法共有11种， 根据分步乘
5、法计数原理，总的测试方法共有2411264(种).,用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：,反思与感悟,从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为AD. 完成AD这件事，需要经历三步，即AB，BC，CD.其中BC这步又分为三类，这就是步中有类. 其中mi(i1,2,3,4,5)表示相应步的方法数. 完成AD这件事的方法数为m1(m2m3m4)m5. 以上给出了处理步中有类问题的一般方法.,跟踪训练2 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有A.11 B.12 C.20 D.21,解析,答案,解析 根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，若电路接通，则开关1、2与3、
6、4、5中至少有1个接通，,对于开关1、2，共有224(种)情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有413(种)情况， 对于开关3、4、5，共有2228(种)情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有817(种)情况， 则电路接通的情况有3721(种).故选D.,例3 3个女生和5个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？,解 (捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有 种不同排法. 对于其中的每一种排法，3个女生之间又有 种不同的排法， 因此共有 4 320(种)不同的排法.
7、,类型二 有限制条件的排列问题,解答,(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？,解 (插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻. 由于5个男生排成一排有 种不同的排法，对于其中任意一种排法， 从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有 种方法， 因此共有 14 400(种)不同的排法.,解答,(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？,解答,(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？,解
8、答,(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？,解答,(1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等.要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素.当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽). (2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中.,反思
9、与感悟,跟踪训练3 用0到9这10个数字： (1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？在这些四位数中，奇数有多少个？,解答,解 0到9这10个数字构成的三位数共有900个，分为三类： 第1类：三位数字全相同，如111,222，999，共9个；第2类：三位数字全不同，共有998648(个)， 第3类：由间接法可求出，只含有2个相同数字的三位数，共有9009648243(个).,(2)可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数？,解答,命题角度1 不同元素的排列、组合问题 例4 有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.
10、如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？,类型三 排列与组合的综合应用,解答,解 分三类：,(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列. (2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点： 元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题. 对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法.,反思与感悟,跟踪训练4 从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有
11、重复数字的五位偶数？,解答,解 (1)五位数中不含数字0.,(2)五位数中含有数字0.,所以符合条件的偶数个数为,命题角度2 含有相同元素的排列、组合问题 例5 将10个优秀名额分配到一班、二班、三班3个班级中，若各班名额数不小于班级序号数，则共有_种不同的分配方案.,解析 先拿3个优秀名额分配给二班1个，三班2个，这样原问题就转化为将7个优秀名额分配到3个班级中，每个班级中至少分配到1个. 利用“隔板法”可知，共有 15(种)不同的分配方案.,答案,解析,15,凡“相同小球放入不同盒中”的问题，即为“n个相同元素有序分成m组(每组的任务不同)”的问题，一般可用“隔板法”求解： (1)当每组至
12、少含一个元素时，其不同分组方式有N 种，即将n个元素中间的n1个空格中加入m1个“隔板”. (2)任意分组，可出现某些组含元素为0个的情况，其不同分组方式有N 种，即将n个相同元素与m1个相同“隔板”进行排序，在nm1个位置中选m1个安排“隔板”.,反思与感悟,跟踪训练5 用2,3,4,5,6,7六个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为_.,解析 用间接法：六个数字能构成的三位数共666216(个)，而无重复数字的三位数共有 654120(个). 故所求的三位数的个数为21612096.,答案,解析,96,当堂训练,1.李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙
13、.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有 A.24种 B.14种 C.10种 D.9种,2,3,4,5,1,解析,解析 由题意可得李芳不同的选择方式有43214(种).故选B.,答案,2.设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则(a，b)为,2,3,4,5,1,解析,解析 首先每名学生报名有3种选择，有4名学生，根据分步乘法计数原理知共有34种选择，每项冠军有4种可能的结果，3项冠军根据分步乘法计数原理知共有43种可能结果，故选C.,答案,3.从0,2,4中取一个数字，从1,3,
14、5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是 A.48 B.50 C.52 D.54,2,3,4,5,1,解析,答案,2,3,4,5,1,共有361248(种)排法，故选A.,4.某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有_种.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 先安排后2个，再安排前3个，由分步乘法计数原理知， 共有 36(种)不同的播放方式.,36,2,3,4,5,1,5.已知xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6，则满足x1x2x3x4x5x6
15、2的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为_.,答案,解析,解析 根据题意，x1x2x3x4x5x62，xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6， xi中有2个1和4个0，或3个1、1个1和2个0，或4个1和2个1，共有 90(个)， 满足x1x2x3x4x5x62的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为90.,90,规律与方法,1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础. 2.解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理. 3.对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏. 4.对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.,本课结束,