1、习题课 离散型随机变量的均值,第二章 随机变量及其分布,学习目标 1.进一步熟练掌握均值公式及性质. 2.能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题.,题型探究,内容索引,当堂训练,题型探究,例1 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： (1)不放回抽样时，抽取次品数的均值；,解答,类型一 放回与不放回问题的均值,随机变量的分布列为,随机变量服从超几何分布，n3，M2，N10，,(2)放回抽样时，抽取次品数的均值.,解答,不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算.,反思与感悟,跟踪训练1 甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m
2、个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为 从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2. (1)若m10，求甲袋中红球的个数；,解 设甲袋中红球的个数为x，,解答,(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是 求P2的值；,解答,(3)设P2 若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次.设表示摸出红球的总次数，求的分布列和均值.,解答,解 的所有可能值为0,1,2,3.,所以的分布列为,例2 如图所示，从A1(1,0,0)，A2(2，0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1 (0，0,1)，C2(0,0,2)这
3、6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V0). (1)求V0的概率；,类型二 与排列、组合有关的分布列的均值,解答,(2)求均值E(V).,解答,因此V的分布列为,解此类题的关键是搞清离散型随机变量X取每个值时所对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X取每个值时的概率，利用均值的公式便可得到.,反思与感悟,跟踪训练2 某地举办知识竞赛，组委会为每位选手都备有10道不同的题目，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次
4、，每次抽取一道题，回答完一道题后，再抽取下一道题进行回答. (1)求某选手在3次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；,解答,(2)求某选手抽到体育类题目的次数X的均值.,解答,解 由题意可知X的取值可能为0,1,2.,故X的分布列为,例3 某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核.每个项目只有一次补考机会，补考不及格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰)，若该学生身体体能考核合格的概率是 外语考核合格的概率是 假设每一次考核是否合格互不影响. 假设该生不放弃每一次考核的机会.用表示其参加补考的次数，求随机变量的均值.,类型三 与互斥、独立事件有关的分布列的均值,解答,解 的可能
5、取值为0,1,2. 设该学生第一次，第二次身体体能考核合格为事件A1，A2，第一次，第二次外语考核合格为事件B1，B2，,所以其分布列为,若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率.,反思与感悟,跟踪训练3 甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲胜的概率为 乙胜的概率为 没有和棋，采用五局三胜制，规定某人先胜三局则比赛结束，求比赛局数X的均值.,解答,解 由题意，X的所有可能值是3,4,5.,所以X的分布列为,例4 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售
6、出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：,类型四 均值的实际应用,将频率视为概率，解答下列问题： (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；,解答,(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；,解答,解 依题意得X1的分布列为,X2的分布列为,(3)该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，因此只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？请说明理由.,解答,因为E(X1)E(X2)，所以应生产甲品牌轿车.,解答概率模型的三
7、个步骤 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些. (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值. (3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.,反思与感悟,跟踪训练4 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；,解答,(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和均
8、值.,解答,解 依题意，得X所有可能的取值是1,2,3，,所以X的分布列为,当堂训练,1.某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是 A.np(1p) B.np C.n D.p(1p),2,3,4,5,1,解析,解析 用电单位XB(n，p)，E(X)np.,答案,2.今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)等于 A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.22,2,3,4,5,1,解析,解析 P(X0)(10.9)(10.85)0.10.150.015， P
9、(X1)0.9(10.85)0.85(10.9)0.22， P(X2)0.90.850.765. E(X)00.01510.2220.7651.75.,答案,3.已知随机变量的分布列为,答案,2,3,4,5,1,解析,若a3，E() 则a_.,2,2,3,4,5,1,4.两封信随机投入A、B、C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数的均值E()_.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 分布列如下表所示：,5.现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下.游戏规则为：若小球最终落入A槽，得10张奖票；若落入B槽，得5张奖票；若落入C槽，得重投一次的机会，但投球
10、的总次数不超过3次.,解答,2,3,4,5,1,(1)求投球一次，小球落入B槽的概率；,(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X，求X的分布列及均值.,解答,2,3,4,5,1,X的所有可能取值为0,5,10，,2,3,4,5,1,所以X的分布列为,2,3,4,5,1,规律与方法,1.实际问题中的均值问题 均值在实际中有着广泛的应用，如体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计. 2.概率模型的解答步骤 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些. (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值. (3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.,本课结束,