1、2.4 正态分布,第二章 随机变量及其分布,学习目标 1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 2.了解变量落在区间(，(2，2，(3，3的概率大小. 3.会用正态分布去解决实际问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 正态曲线,思考,函数f(x) xR的图象如图所示.试确定函数f(x)的解析式.,答案,(1)正态曲线,梳理,(2)正态曲线的性质 曲线位于x轴 ，与x轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线 对称；,上方,x,曲线与x轴之间的面积为 ； 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示； 当一定时，曲线的形状由
2、确定，越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中，如图乙所示：,1,知识点二 正态分布,一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，则称随机变量X服从正态分布.正态分布完全由参数_ 和 确定，因此正态分布常记作N(，2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为XN(，2).,，(x)dx,知识点三 3原则,1.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 (1)P(X) ； (2)P(2X2) ； (3)P(32，12，12,解析 根据正态曲线的特点：正态分布曲线是一条关于直线x对称，在x处取得最大值的连续曲线； 当一定时，越大，曲线的最高点越低
3、且较平缓， 反过来，越小，曲线的最高点越高且较陡峭可求解.故选A.,例2 设XN(1,22)，试求： (1)P(1X3)；,类型二 利用正态分布的对称性求概率,解 因为XN(1,22)，所以1，2. P(1X3)P(12X12) P(X)0.682 6.,解答,(2)P(3X5)；,解 因为P(3X5)P(3X5).,解答,引申探究 本例条件不变，若P(Xc1)P(Xc1)P(Xc1)，,解答,利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x对称的，且概率的和为1，故关于直线x对称的区间上概率相等.如： P(Xa). (2)“3”法：利用X落在区间(，(2，2，(3，3内的
4、概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4求解.,反思与感悟,跟踪训练2 (1)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02)等于 A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2,解析 随机变量X服从正态分布N(2，2)， 2，对称轴是x2. P(4)0.8， P(4)P(0)0.2， P(04)0.6， P(02)0.3.故选C.,答案,解析,(2)设XN(6,1)，求P(4X5).,解 由已知得6，1. P(5X7)P(X)0.682 6， P(4X8)P(2X2)0.954 4. 如图，由正态分布的对称性知， P(4x5)P(7x8)，,解答,例3 设
5、在一次数学考试中，某班学生的分数XN(110,202)，已知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数.,类型三 正态分布的应用,解答,解 由题可知110，20， P(X90)P(X11020)P(X)， P(X)P(X)P(X) 2P(X)0.682 61， P(X)0.158 7， P(X90)1P(X) 10.158 70.841 3. 540.841 345(人)，即及格人数约为45.,P(X130)P(X11020)P(X)， P(X)P(X)P(X)0.682 62P(X)1， P(X)0.158 7，即P(X13
6、0)0.158 7. 540.158 78(人)，即130分以上的人数约为8.,解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(，(2，2，(3，3三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想.,反思与感悟,跟踪训练3 有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5 000个，试求： (1)这批零件中尺寸在1822 mm间的零件所占的百分比；,解 XN(20,4)，20，2， 18，22， 尺寸在1822 mm间的零件所占的百分比大约是68.26%.,解答,因此尺寸在2426mm间的零件大约有5 0002.15%107(个).
7、,(2)若规定尺寸在2426 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？,解 314，326，216，224， 尺寸在1426 mm间的零件所占的百分比大约是99.74%，而尺寸在1624 mm间的零件所占的百分比大约是95.44%.,解答,当堂训练,1.某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是 A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都居中 D.甲、乙、丙总体的平均数不相同,2,3,4,5,1,解析,解析 由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数确定，越
8、大，曲线越矮胖； 越小，曲线越瘦高，且是标准差，故选A.,答案,2,3,4,5,1,2.设随机变量服从正态分布N(，2)，且二次方程x24x0无实数根的概率为 ，则等于 A.1 B.2 C.4 D.不能确定,解析,答案,由1644，,2,3,4,5,1,3.已知服从正态分布N(，2)的随机变量在区间(，)，(2，2)和(3，3)内取值的概率分别为68.26%,95.44%和99.74%.若某校高一年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120)内的学生大约有 A.997人 B.972人 C.954人 D.683人,答案,解析,解析 依题意
9、可知90，15， 故P(60X120)P(90215X90215)0.954 4,1 0000.954 4954， 故大约有学生954人.,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,A.95.44% B.99.74% C.4.56% D.0.26%,答案,解析,5.设随机变量XN(0,1)，求P(X0)，P(2X2).,解答,解 对称轴为X0，故P(X0)0.5， P(2X2)P(021X021)0.954 4.,2,3,4,5,1,规律与方法,1.理解正态分布的概念和正态曲线的性质. 2.正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1)熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值. (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这两个特点. 正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等. P(Xa)1P(Xa)，P(Xa)P(Xa)，,本课结束,