1、1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质,第一章 1.3 二项式定理,学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点 “杨辉三角”与二项式系数的性质,(ab)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：,思考1,从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？,答案,答案 在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.,思考2,计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？,答案,答案
2、2,4,8,16,32,64，其系数和为2n.,思考3,二项式系数的最大值有何规律？,答案,答案 当n2,4,6时，中间一项最大，当n3,5时中间两项最大.,(1)杨辉三角的特点 在同一行中，每行两端都是 ，与这两个1等距离的项的系数 . 在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的 ， 即 .,梳理,1,相等,和,(2)二项式系数的性质,等距离,二项式系数,2n,2n,偶数,2n1,题型探究,例1 如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前n项和为Sn，求S16的值.,解 由题意及杨辉三角的特点可得 S16(12
3、)(33)(64)(105)(369),解答,类型一 与杨辉三角有关的问题,引申探究 本例条件不变，若改为求S21，则结果如何？,解 S21(12)(33)(64)(5511)66,解答,解决与杨辉三角有关的问题的一般思路,反思与感悟,跟踪训练1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左至右的第14个数与第15个数的比为23.,答案,34,解析,解析 由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为23，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，,所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是23.,例2 设(2 x)100a0a1xa2x2a100x100，求
4、下列各式的值. (1)求a0；,解 令x0，则展开式为a02100.,类型二 求展开式的系数和,解答,(2)a1a2a3a4a100；,解 令x1，可得a0a1a2a100(2 )100， ,解答,所以a1a2a100(2 )1002100.,(3)a1a3a5a99；,解 令x1，可得a0a1a2a3a100(2 )100. ,(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2；,解 由可得，(a0a2a100)2(a1a3a99)2 (a0a1a2a100)(a0a1a2a100) (2 )100(2 )1001.,解答,(5)|a0|a1|a100|.,解答,二项展开式中系数和的求法 (1
5、)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可. (2)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，,反思与感悟,解 设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.,跟踪训练2 在二项式(2x3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和；,解答,解 各项系数之和为a0a1a2a9， 令x1，y1， 所以a0a1a2a9(23)91.,(2)各项系数之和；,解 令x1，y1，可得
6、 a0a1a2a959， 又a0a1a2a91，,(3)所有奇数项系数之和.,解答,例3 已知f(x)( 3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项；,类型三 二项式系数性质的应用,解答,解 令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992. (2n)22n9920， (2n31)(2n32)0， 2n31(舍去)，或2n32，n5. 由于n5为奇数，展开式中二项式系数最大的项为中间的项，,(2)求展开式中系数最大的项.,解答,假设Tk1项系数最大，,kN，k4，,(1)二
7、项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(ab)n中的n进行讨论. 当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大. 当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. (2)展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(abx)n(a，bR)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2， ，An，且第k1项最大，应用 解出k，即得出系数的最大项.,反思与感悟,解 二项式系数最大的项为中间两项：,跟踪训练3 写出(xy)11的展开式中： (1)二项式系数最大的项；
8、,解答,(2)项的系数绝对值最大的项；,解 (xy)11展开式的通项为,解答,(3)项的系数最大的项和系数最小的项；,解 由(2)知中间两项系数绝对值相等， 又第6项系数为负，第7项系数为正，,解答,(4)二项式系数的和；,(5)各项系数的和.,解答,当堂训练,1.在(1x)n(nN*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n等于 A.8 B.9 C.10 D.11,2,3,4,5,1,解析 由题意知(1x)n的二项展开式中，x5的系数就是第6项的系数， 因为只有x5的系数最大，所以n10.,答案,解析,2.若(x3y)n的展开式中所有项的系数之和等于(7ab)10的展开式的二项式系数之和，
9、则n的值为 A.15 B.10 C.8 D.5,2,3,4,5,1,解析,解析 令xy1，得(x3y)n的展开式中所有项的系数和为4n， (7ab)10的展开式中所有项的二项式系数之和为210， 故4n210，即n5.,答案,3.观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是,2,3,4,5,1,解析,解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和， 所以4a10，得a6.,A.8 B.6 C.4 D.2,答案,4.设(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a1a2a3的值为_.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 令x1，得a0a1a2a3a41. ,15,当k0时，x4的系数a416
10、. 由得a0a1a2a315.,2,3,4,5,1,5.已知(1x)8的展开式，求： (1)二项式系数最大的项；,解 因为(1x)8的幂指数8是偶数， 所以由二项式系数的性质知，中间一项(即第5项)的二项式系数最大， 该项为T5 (x)470x4.,解答,2,3,4,5,1,(2)系数最小的项.,解 二项展开式系数的最小值应在各负项中确定.由题意知第4项和第6项系数相等且最小，分别为,解答,规律与方法,1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出. 2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋的值为0、1或1，但在解决具体问题时要灵活掌握. 3.注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数. (2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k0,1,2，n.,本课结束,