1、习题课 导数的应用,第一章 导数及其应用,学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性. 2.理解函数的极值、最值与导数的关系. 3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点一 函数的单调性与其导数的关系,定义在区间(a，b)内的函数yf(x),增,减,知识点二 求函数 yf(x)的极值的方法,解方程f(x)0，当f(x0)0时， (1)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值. (2)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值.,f(x)0,f(x)0,f(x)0,知识点三 函数 yf(x)在a，b上最大值与最小
2、值的求法,(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值. (2)将函数yf(x)的各 与端点处的函数值 比较，其中的一个是最大值， 的一个是最小值.,极值,f(a)，f(b),最大,最小,题型探究,类型一 构造法的应用,命题角度1 比较函数值的大小,例1 已知定义在(0， )上的函数f(x)，f(x)是它的导函数，且恒有sin xf(x)cos xf(x)成立，则,答案,解析,解析 由f(x)sin xf(x)cos x， 则f(x)sin xf(x)cos x0，,故选D.,此类题目的关键是构造出恰当的函数，利用函数的单调性确定函数值的大小.,反思与感悟,答案,解析,A.acb B.bca C
3、.abc D.ca0时，xf(x)f(x)0. g(x)在(0，)上是减函数.,g(x)是偶函数，,故选B.,命题角度2 求解不等式 例2 定义域为R的可导函数yf(x)的导函数f(x)，满足f(x)f(x)，且f(0)2，则不等式f(x)f(x)，g(x)0，不等式的解集为(0，)，故选C.,构造恰当函数并判断其单调性，利用单调性得到x的取值范围.,反思与感悟,(0,10),答案,解析,f(1)1， F(1)f(1)1110.,F(lg x)F(1). F(x)在R上单调递减，lg x1，0x10， 原不等式的解集为(0,10).,类型二 利用导数研究函数的极值与最值,例3 已知函数f(x)
4、x3ax2b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行. (1)求函数f(x)的解析式；,解答,解 因为f(x)3x22ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f(1)32a，即32a3，a3. 又函数过(1,0)点，即2b0，b2. 所以a3，b2，f(x)x33x22.,(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；,解答,解 由f(x)x33x22，得f(x)3x26x. 由f(x)0，得x0或x2. 当0t2时，在区间(0，t)上，f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22. 当2t3时，当x
5、变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,f(x)minf(2)2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个. f(t)f(0)t33t2t2(t3)0，f(x)x3 (1a)x23axb. (1)函数f(x)的极大值为2，求a，b间的关系式；,解答,解 f(x)3x23(1a)x3a3(xa)(x1)， 令f(x)0，解得x11，x2a， 因为a0，所以x1x2. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,所以当x1时，f(x)有极大值2，即3a2b3.,(2)函数f(x)的极大值为2，且在区间0,3上的最小值为 ，求a，b的值.,解答,解 当0a0，故f(x)0， f(x
6、)在区间(1，)上单调递增. 对于，当x(1,0)时，xf(x)0，故f(x)0； 当x(0,1)时，xf(x)0，故f(x)0. 所以当x(1,0)(0,1)时，f(x)2时，f(x)0； 当x2时，f(x)0； 当x0. 由此观察四个选项，故选A.,当堂训练,1,2,3,4,1.已知函数f(x)x3bx2cx的图象如图所示，则 等于,答案,解析,解析 由题意可知f(0)0，f(1)0，f(2)0， 可得1bc0,84b2c0，解得b3，c2， 所以函数的解析式为f(x)x33x22x. f(x)3x26x2，,1,2,3,4,1,2,3,4,答案,解析,2.已知f(x)是定义在(0，)上的
7、非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意的正数a，b，若ab，则必有 A.bf(b)af(a) B.bf(a)af(b) C.af(a)bf(b) D.af(b)bf(a),解析 设g(x)xf(x)，x(0，)， 则g(x)xf(x)f(x)0， g(x)在区间(0，)上单调递减或g(x)为常函数. a3，则f(x)3x4的解集为_.,(1，),解析 设F(x)f(x)(3x4)， 则F(1)f(1)(34)110. 又对任意的xR，f(x)3， F(x)f(x)30， F(x)在R上是增函数， F(x)0的解集是(1，)， 即f(x)3x4的解集为(1，).,1,2,3,4,答案,解析,(7，),解析 f(x)3x2x2，令f(x)0，,可判断求得f(x)maxf(2)7. f(x)7.,规律与方法,导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决.不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.,本课结束,