1、第二章 推理与证明,习题课 数学归纳法,学习目标 1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题的方法. 2.掌握证明nk1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点一 归纳法,归纳法是一种 的推理方法，分 和_ 两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明.,由特殊到一般,完全归纳法,不完全归,纳法,知识点二 数学归纳法,(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与 有关的数学命题； (2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结
2、论，缺一不可； (3)注意点：在第二步归纳递推时，从nk到nk1必须用上归纳假设.,正整数n,题型探究,类型一 求参数问题,例1 是否存在常数a，b，c，使等式1(n212)2(n222) n(n2n2)an4bn2c对一切正整数n成立？并证明你的结论.,解答,解 分别将1,2,3代入，得,下面用数学归纳法证明：,(2)假设当nk(kN*，k1)时，等式成立， 则当nk1时，左边1(k1)2122(k1)222k(k1)2k2(k1)(k1)2(k1)2 1(k212)2(k222)k(k2k2)1(2k1)2(2k1)k(2k1),由(1)(2)知，等式对一切正整数都成立.,这类猜测存在性问
3、题的思路：若存在a，b，c使等式成立，首先在n1,2,3时，等式应成立，因此由n1,2,3，先把a，b，c求出，再代回等式，最后用数学归纳法证明存在常数a，b，c，使等式成立.,反思与感悟,解答,解 令n1，得3ab1， 令n2，得10a3b2，,以下用数学归纳法证明：,(1)当n1时，易知结论成立. (2)假设当nk(k1，kN*)时，结论成立，则,则当nk1时，,故当nk1时，结论也成立. 根据(1)(2)知，对一切正整数n，结论成立.,类型二 整除问题,证明,例2 求证：当nN*时，an1(a1)2n1能被a2a1整除.,证明 (1)当n1时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立.
4、 (2)假设当nk(kN*)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除， 则当nk1时， ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1 aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1 aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1. 由归纳假设，上式中的两项均能被a2a1整除， 故当nk1时，命题成立. 由(1)(2)知，对任意nN*，命题成立.,证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成当nk时的情形，再利用归纳假设使问题获证.,反思与感悟,证明,跟踪训练2 用数学归纳法证明(3n1)7n1(nN*)能被9整除.,证明 (1)当n1时
5、，47127，能被9整除. (2)假设当nk (kN*)时，命题成立， 即(3k1)7k1能被9整除， 则当nk1时，(3k4)7k117(3k1)7k217k1 (3k1)7k118k7k67k217k (3k1)7k118k7k277k， 由假设知，(3k1)7k1能被9整除，又因为18k7k277k能被9整除， 所以当nk1时，命题成立. 由(1)(2)知，对一切nN*，(3n1)7n1都能被9整除.,类型三 有关几何问题,证明,例3 平面内有n(nN*，n2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条 不过同一点，证明：交点的个数为f(n) .,证明 (1)当n2时，两条直线的交点只有一个，
6、,当n2时，命题成立. (2)假设nk(k2，kN*)时，命题成立， 即平面内满足题设的任何k条直线交点个数为,l与其他k条直线交点个数为k， 从而k1条直线共有f(k)k个交点，,当nk1时，命题成立. 由(1)(2)可知，对任意nN*，n2，命题都成立.,用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明.,反思与感悟,证明,跟踪训练3 平面内有n(nN*)个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)n2n2部分.,证明 (1)当n1时，分为2块，f(1)2，命题成立； (2)假设当nk(kN*)时， 被分成f(k)k2k
7、2部分， 那么当nk1时，依题意， 第k1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分， 所以平面上净增加了2k个区域. 所以f(k1)f(k)2kk2k22k (k1)2(k1)2， 即当nk1时，命题成立. 由(1)(2)知命题成立.,当堂训练,1,2,3,4,5,1.用数学归纳法证明n边形的内角和为(n2)180时，其初始值n0为 A.1 B.2 C.3 D.4,答案,1,2,3,4,5,2.已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN*都成立，那么a，b，c的值为,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 令n等于1,2,3，得,1,2
8、,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,4.用数学归纳法证明“n35n能被6整除”的过程中，当nk1时，对式子(k1)35(k1)应变形为_.,(k35k)3k(k1)6,解析 采取配凑法，凑出归纳假设k35k来，(k1)35(k1)k33k23k15k5(k35k)3k(k1)6.,答案,解析,证明 (1)当n0时，34n252n114，能被14整除. (2)假设当nk(k0，kN)时，34k252k1能被14整除， 则当nk1时，34(k1)252(k1)134k652k3 8134k22552k1 25(34k252k1)5634k2. 显然25(34k252k1)是14的倍数，5634k2也是14的倍数， 故34k652k3是14的倍数， 即当nk1时，34(k1)252(k1)1能被14整除. 综合(1)(2)知，当n是非负整数时，34n252n1能被14整除.,1,2,3,4,5,证明,5.用数学归纳法证明：当n是非负整数时，34n252n1能被14整除.,规律与方法,1.数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等. 2.证明问题的初始值n0不一定为1，可根据题目要求和问题实际确定n0. 3.从nk到nk1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.,本课结束,