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人教A版高中数学选修2-2课件:第二章推理与证明 习题课 数学归纳法

1、第二章 推理与证明,习题课 数学归纳法,学习目标 1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤,掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题的方法. 2.掌握证明nk1成立的常见变形技巧:提公因式、添项、拆项、合并项、配方等.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点一 归纳法,归纳法是一种 的推理方法,分 和_ 两种,而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性,必须用数学归纳法进行严格证明.,由特殊到一般,完全归纳法,不完全归,纳法,知识点二 数学归纳法,(1)应用范围:作为一种证明方法,用于证明一些与 有关的数学命题; (2)基本要求:它的证明过程必须是两步,最后还有结

2、论,缺一不可; (3)注意点:在第二步归纳递推时,从nk到nk1必须用上归纳假设.,正整数n,题型探究,类型一 求参数问题,例1 是否存在常数a,b,c,使等式1(n212)2(n222) n(n2n2)an4bn2c对一切正整数n成立?并证明你的结论.,解答,解 分别将1,2,3代入,得,下面用数学归纳法证明:,(2)假设当nk(kN*,k1)时,等式成立, 则当nk1时,左边1(k1)2122(k1)222k(k1)2k2(k1)(k1)2(k1)2 1(k212)2(k222)k(k2k2)1(2k1)2(2k1)k(2k1),由(1)(2)知,等式对一切正整数都成立.,这类猜测存在性问

3、题的思路:若存在a,b,c使等式成立,首先在n1,2,3时,等式应成立,因此由n1,2,3,先把a,b,c求出,再代回等式,最后用数学归纳法证明存在常数a,b,c,使等式成立.,反思与感悟,解答,解 令n1,得3ab1, 令n2,得10a3b2,,以下用数学归纳法证明:,(1)当n1时,易知结论成立. (2)假设当nk(k1,kN*)时,结论成立,则,则当nk1时,,故当nk1时,结论也成立. 根据(1)(2)知,对一切正整数n,结论成立.,类型二 整除问题,证明,例2 求证:当nN*时,an1(a1)2n1能被a2a1整除.,证明 (1)当n1时,a11(a1)211a2a1,命题显然成立.

4、 (2)假设当nk(kN*)时,ak1(a1)2k1能被a2a1整除, 则当nk1时, ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1 aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1 aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1. 由归纳假设,上式中的两项均能被a2a1整除, 故当nk1时,命题成立. 由(1)(2)知,对任意nN*,命题成立.,证明整除性问题的关键是“凑项”,先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段,凑成当nk时的情形,再利用归纳假设使问题获证.,反思与感悟,证明,跟踪训练2 用数学归纳法证明(3n1)7n1(nN*)能被9整除.,证明 (1)当n1时

5、,47127,能被9整除. (2)假设当nk (kN*)时,命题成立, 即(3k1)7k1能被9整除, 则当nk1时,(3k4)7k117(3k1)7k217k1 (3k1)7k118k7k67k217k (3k1)7k118k7k277k, 由假设知,(3k1)7k1能被9整除,又因为18k7k277k能被9整除, 所以当nk1时,命题成立. 由(1)(2)知,对一切nN*,(3n1)7n1都能被9整除.,类型三 有关几何问题,证明,例3 平面内有n(nN*,n2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点,证明:交点的个数为f(n) .,证明 (1)当n2时,两条直线的交点只有一个,

6、,当n2时,命题成立. (2)假设nk(k2,kN*)时,命题成立, 即平面内满足题设的任何k条直线交点个数为,l与其他k条直线交点个数为k, 从而k1条直线共有f(k)k个交点,,当nk1时,命题成立. 由(1)(2)可知,对任意nN*,n2,命题都成立.,用数学归纳法证明几何问题时,一要注意数形结合,二要注意有必要的文字说明.,反思与感悟,证明,跟踪训练3 平面内有n(nN*)个圆,其中每两个圆相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成f(n)n2n2部分.,证明 (1)当n1时,分为2块,f(1)2,命题成立; (2)假设当nk(kN*)时, 被分成f(k)k2k

7、2部分, 那么当nk1时,依题意, 第k1个圆与前k个圆产生2k个交点,第k1个圆被截为2k段弧,每段弧把所经过的区域分为两部分, 所以平面上净增加了2k个区域. 所以f(k1)f(k)2kk2k22k (k1)2(k1)2, 即当nk1时,命题成立. 由(1)(2)知命题成立.,当堂训练,1,2,3,4,5,1.用数学归纳法证明n边形的内角和为(n2)180时,其初始值n0为 A.1 B.2 C.3 D.4,答案,1,2,3,4,5,2.已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN*都成立,那么a,b,c的值为,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 令n等于1,2,3,得,1,2

8、,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,4.用数学归纳法证明“n35n能被6整除”的过程中,当nk1时,对式子(k1)35(k1)应变形为_.,(k35k)3k(k1)6,解析 采取配凑法,凑出归纳假设k35k来,(k1)35(k1)k33k23k15k5(k35k)3k(k1)6.,答案,解析,证明 (1)当n0时,34n252n114,能被14整除. (2)假设当nk(k0,kN)时,34k252k1能被14整除, 则当nk1时,34(k1)252(k1)134k652k3 8134k22552k1 25(34k252k1)5634k2. 显然25(34k252k1)是14的倍数,5634k2也是14的倍数, 故34k652k3是14的倍数, 即当nk1时,34(k1)252(k1)1能被14整除. 综合(1)(2)知,当n是非负整数时,34n252n1能被14整除.,1,2,3,4,5,证明,5.用数学归纳法证明:当n是非负整数时,34n252n1能被14整除.,规律与方法,1.数学归纳法证明与正整数有关的命题,包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等. 2.证明问题的初始值n0不一定为1,可根据题目要求和问题实际确定n0. 3.从nk到nk1要搞清“项”的变化,不论是几何元素,还是式子;一定要用到归纳假设.,本课结束,