1、第二章 推理与证明,2.3 数学归纳法,学习目标 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点 数学归纳法,思考1,答案,答案 成立.,对于一个与正整数有关的等式 n(n1)(n2)(n50)0.,验证当n1，n2，n50时等式成立吗？,思考2,答案 不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立.,能否通过以上等式归纳出当n51时等式也成立？为什么？,梳理,(1)数学归纳法的定义 一般地，证明一个与 n有关的命题，可按下列步骤进行： (归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立； (归纳递推)假设当
2、nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当 时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.,正整数,nk1,(2)数学归纳法的框图表示,n=n0,n=k,n=k+1,从n0开始所,有的正整数n,题型探究,类型一 用数学归纳法证明等式,例1 (1)用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13 (2n1)(nN*)，“从k到k1”左端增乘的代数式为_.,答案,2(2k1),证明,左边右边，等式成立. 假设当nk(kN*，k1)时，等式成立，,当nk1时，等式成立. 由可知，对一切nN*等式成立.,数学归纳法证题的三个关键点： (1
3、)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项. (3)利用假设是核心：在第二步证明nk1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“nk时命题成立”作为条件来导出“nk1”，在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.,反思与感悟,证明,跟踪训练1 用数学归纳法证明：135(2n3)(
4、2n1) (2n3)5312n22n1.,证明 (1)当n1时，左边1，右边2122111，等式成立. (2)假设当nk(kN*)时，等式成立，即 135(2k3)(2k1)(2k3)5312k22k1， 则当nk1时， 左边135(2k3)(2k1)(2k1)(2k1)(2k3)531 2k22k1(2k1)(2k1) 2k22k1 2(k1)22(k1)1. 即当nk1时，等式成立. 由(1)(2)知，对任意nN*，等式都成立.,类型二 利用数学归纳法证明不等式,证明,故左边右边，不等式成立. (2)假设当nk(k2，kN*)时，命题成立，,则当nk1时，,方法一 (分析法),只需证(3k
5、2)(3k3)(3k1)(3k3)(3k1)(3k2)3(3k1)(3k2)0， 只需证(9k215k6)(9k212k3)(9k29k2)(27k227k6)0， 只需证9k50，显然成立. 所以当nk1时，不等式也成立.,方法二 (放缩法),所以当nk1时，不等式也成立. 由(1)(2)可知，原不等式对一切n2，nN*均成立.,引申探究,证明,(2)假设当nk(kN*，k1)时，不等式成立，,当nk1时，不等式成立. 由(1)(2)知对于任意正整数n，不等式成立.,用数学归纳法证明不等式的四个关键： (1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若nk(k为正整数)，则n0k1. (2)
6、证明不等式的第二步中，从nk到nk1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设.,反思与感悟,(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明. (4)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立得nk1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.,证明,(2)假设当nk(k1，kN*)时，不等式成立，,所以当nk1时，不等式成立. 由
7、(1)(2)知，不等式对一切nN*都成立.,类型三 归纳猜想证明,解答,(2)猜想数列an的通项公式，并证明.,解答,假设当nk(k1，kN*)时猜想成立，,所以Skk(2k1)ak,Sk1(k1)(2k1)ak1，,所以当nk1时，命题成立. 由可知，命题对任何nN*都成立.,(1)“归纳猜想证明”的解题步骤,反思与感悟,(2)归纳法的作用 归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法.归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想.“观察猜想证明”是解答与自然数有关命题的有效途径.,解答,解 因为a11，an1f(an)，,解答,(2)用数学归纳法证明你的结论.,解 易知当n1时，
8、结论成立； 假设当nk (k1，kN*)时，猜想成立，,则当nk1时，,即当nk1时，猜想也成立.,当堂训练,1,2,3,4,答案,A.1a B.1aa2 C.1aa2a3 D.1aa2a3a4,1,2,3,4,解析 将n1代入a2n1得a3，故选C.,答案,解析,1,2,3,4,3.用数学归纳法证明12222n12n1(nN*)的过程如下： (1)当n1时，左边1，右边2111，等式成立. (2)假设当nk(kN*)时等式成立，即12222k12k1，则当 nk1时，12222k12k 2k11.所以当nk1时，等式也成立.由此可知对于任何nN*，等式都成立. 上述证明，错误是_.,未用归纳
9、假设,解析 本题在由nk成立证明nk1成立时， 应用了等比数列的求和公式， 而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符.,答案,解析,1,2,3,4,解答,4.请观察以下三个式子：,归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论.,1,2,3,4,解 结论：132435n(n2),证明：当n1时，左边3，右边3，所以命题成立. 假设当nk(k1，kN*)时，命题成立，,则当nk1时，1324k(k2)(k1)(k3),1,2,3,4,所以当nk1时，命题成立. 由知，命题成立.,规律与方法,在应用数学归纳法证题时应注意以下几点： (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1； (2)递推是关键：正确分析由nk到nk1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障； (3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.,本课结束,