1、2.2.1 综合法和分析法,第二章 2.2 直接证明与间接证明,学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点. 2.会用综合法、分析法解决问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 综合法,思考,答案,答案 利用已知条件a0，b0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论.,阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？ 已知a，b0，求证：a(b2c2)b(c2a2)4abc. 证明：因为b2c22bc，a0，所以a(b2c2)2abc. 又因为c2a22ac，b0，所以b(c2a2)2abc. 因此a(b2c2)b(c2a2)4abc.,梳理,(1)
2、定义：一般地，利用已知条件和某些数学 、 、 等，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的 成立，这种证明方法叫做综合法. (2)综合法的框图表示,(P表示 、已有的 、 、 等，Q表示所要 ),定义,公理,定理,推理论证,已知条件,定义,公理,定理,证明的结论,结论,知识点二 分析法,思考,答案,阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？,答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件.,梳理,(1)定义：从要证明的 出发，逐步寻求使它成立的 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件( 、 、 等)为止，这种证明方法叫做分析
3、法. (2)分析法的框图表示,结论,充分条件,已知条件,定理,定义,公理,题型探究,类型一 综合法,命题角度1 用综合法证明不等式 例1 (1)已知a，b，cR，且它们互不相等，求证a4b4c4a2b2b2c2c2a2.,证明,证明 a4b42a2b2，b4c42b2c2，a4c42a2c2， 2(a4b4c4)2(a2b2b2c2c2a2)， 即a4b4c4a2b2b2c2c2a2. 又a，b，c互不相等， a4b4c4a2b2b2c2c2a2.,证明 因为a，b，c成等比数列，所以b2ac.,证明,(1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边
4、或边化为角.通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则. (2)用综合法证明不等式时常用的结论：,反思与感悟,证明,命题角度2 用综合法证明等式 例2 求证：sin(2)sin 2sin cos().,证明,证明 因为sin(2)2sin cos() sin()2sin cos() sin()cos cos()sin 2sin cos() sin()cos cos()sin sin()sin ， 所以原等式成立.,证明三角恒等式的主要依据 (1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式. (2)和、差、倍角的三角函数
5、公式. (3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理. (4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式.,反思与感悟,证明,证明 在ABC中，由正弦定理及已知，得,于是sin Bcos Ccos Bsin C0， 即sin(BC)0.因为BC0. 由于a2c2b22acb2， 要证a2c2b20， 只需证2acb20. a，b，c的倒数成等差数列，,要证2acb20， 只需证b(ac)b20，即b(acb)0， 上述不等式显然成立，B为锐角.,分析法的应用范围及方法,反思与感悟,证明,证明,(2)在锐角ABC中，求证：tan Atan B1.,证明 要证tan Atan B1，,A、B均为锐角，co
6、s A0，cos B0. 即证sin Asin Bcos Acos B， 即cos Acos Bsin Asin B1.,当堂训练,1,2,3,4,5,1.设alg 2lg 5，bex (xb B.ab C.ab0时，才有a2b2，,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,证明,1,2,3,4,5,证明 方法一 (综合法),原不等式得证. 方法二 (分析法),x，y是正实数，且xy1，y1x，,1,2,3,4,5,即证(1x)(1x1)9x(1x)， 即证2xx29x9x2， 即证4x24x10， 即证(2x1)20，此式显然成立. 原不等式成立.,规律与方法,1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因. 2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语. 3.在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.,本课结束,