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人教A版高中数学选修2-2课件:2.2.1 综合法和分析法

1、2.2.1 综合法和分析法,第二章 2.2 直接证明与间接证明,学习目标 1.理解综合法、分析法的意义,掌握综合法、分析法的思维特点. 2.会用综合法、分析法解决问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 综合法,思考,答案,答案 利用已知条件a0,b0和重要不等式,最后推导出所要证明的结论.,阅读下列证明过程,总结此证明方法有何特点? 已知a,b0,求证:a(b2c2)b(c2a2)4abc. 证明:因为b2c22bc,a0,所以a(b2c2)2abc. 又因为c2a22ac,b0,所以b(c2a2)2abc. 因此a(b2c2)b(c2a2)4abc.,梳理,(1)

2、定义:一般地,利用已知条件和某些数学 、 、 等,经过一系列的 ,最后推导出所要证明的 成立,这种证明方法叫做综合法. (2)综合法的框图表示,(P表示 、已有的 、 、 等,Q表示所要 ),定义,公理,定理,推理论证,已知条件,定义,公理,定理,证明的结论,结论,知识点二 分析法,思考,答案,阅读证明基本不等式的过程,试分析证明过程有何特点?,答案 从结论出发开始证明,寻找使证明结论成立的充分条件,最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件.,梳理,(1)定义:从要证明的 出发,逐步寻求使它成立的 ,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件( 、 、 等)为止,这种证明方法叫做分析

3、法. (2)分析法的框图表示,结论,充分条件,已知条件,定理,定义,公理,题型探究,类型一 综合法,命题角度1 用综合法证明不等式 例1 (1)已知a,b,cR,且它们互不相等,求证a4b4c4a2b2b2c2c2a2.,证明,证明 a4b42a2b2,b4c42b2c2,a4c42a2c2, 2(a4b4c4)2(a2b2b2c2c2a2), 即a4b4c4a2b2b2c2c2a2. 又a,b,c互不相等, a4b4c4a2b2b2c2c2a2.,证明 因为a,b,c成等比数列,所以b2ac.,证明,(1)用综合法证明有关角、边的不等式时,要分析不等式的结构,利用正弦定理、余弦定理将角化为边

4、或边化为角.通过恒等变形、基本不等式等手段,可以从左证到右,也可以从右证到左,还可两边同时证到一个中间量,一般遵循“化繁为简”的原则. (2)用综合法证明不等式时常用的结论:,反思与感悟,证明,命题角度2 用综合法证明等式 例2 求证:sin(2)sin 2sin cos().,证明,证明 因为sin(2)2sin cos() sin()2sin cos() sin()cos cos()sin 2sin cos() sin()cos cos()sin sin()sin , 所以原等式成立.,证明三角恒等式的主要依据 (1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式. (2)和、差、倍角的三角函数

5、公式. (3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理. (4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式.,反思与感悟,证明,证明 在ABC中,由正弦定理及已知,得,于是sin Bcos Ccos Bsin C0, 即sin(BC)0.因为BC0. 由于a2c2b22acb2, 要证a2c2b20, 只需证2acb20. a,b,c的倒数成等差数列,,要证2acb20, 只需证b(ac)b20,即b(acb)0, 上述不等式显然成立,B为锐角.,分析法的应用范围及方法,反思与感悟,证明,证明,(2)在锐角ABC中,求证:tan Atan B1.,证明 要证tan Atan B1,,A、B均为锐角,co

6、s A0,cos B0. 即证sin Asin Bcos Acos B, 即cos Acos Bsin Asin B1.,当堂训练,1,2,3,4,5,1.设alg 2lg 5,bex (xb B.ab C.ab0时,才有a2b2,,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,证明,1,2,3,4,5,证明 方法一 (综合法),原不等式得证. 方法二 (分析法),x,y是正实数,且xy1,y1x,,1,2,3,4,5,即证(1x)(1x1)9x(1x), 即证2xx29x9x2, 即证4x24x10, 即证(2x1)20,此式显然成立. 原不等式成立.,规律与方法,1.综合法证题是从条件出发,由因导果;分析法是从结论出发,执果索因. 2.分析法证题时,一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语. 3.在解题时,往往把综合法和分析法结合起来使用.,本课结束,