1、1.7.1 定积分在几何中的应用,第一章 1.7 定积分的简单应用,学习目标 会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点 定积分在几何中的应用,思考,答案,答案 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可.,怎样利用定积分求不分割型图形的面积？,(1)当xa，b时，若f(x)0，由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积S . (2)当xa，b时，若f(x)g(x)0，由直线xa，xb (ab)和曲线yf(x)，yg(x)围成的平面图形的面积S .(如图),题型
2、探究,类型一 利用定积分求面积,命题角度1 求不分割型图形的面积 例1 试求曲线yx22x3与yx3所围成的图形的面积.,解答,解 如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积.,求由曲线围成图形面积的一般步骤 (1)根据题意画出图形. (2)找出范围，确定积分上、下限. (3)确定被积函数. (4)将面积用定积分表示. (5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果.,反思与感悟,解答,跟踪训练1 求由抛物线yx24与直线yx2所围成的图形的面积.,所以直线yx2与抛物线yx24的交点坐标为(3,5)和(2,0)， 设所求图形面积为S，,命题角度2 分割型图形面积的求解,解答,解 画出图形，如图所示.
3、,得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)，,答案,解析,(2)由抛物线y28x (y0)与直线xy60及y0所围成图形的面积为 _.,解析 由题意，如图所示，,方法一 (选y为积分变量),所以抛物线y28x(y0)与直线xy60的交点坐标为(2,4).,两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较烦琐，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限.,反思与感悟,答案,解析,跟踪训练2 (1)如图，阴影部分由曲线y ，y2x与直线x2，y0所 围成，则其面积为_.,(2)求由曲线yx2，直线y2x和yx围成的图形的
4、面积.,解答,类型二 定积分的综合应用,例3 如图，已知点A(0， )，点P(x0，y0)(x00)在曲线yx2上，若阴影部分的面积与OAP的面积相等，则x0_.,答案,解析,解答,引申探究 1.例3中，若阴影部分面积是OAP面积的4倍，其他条件不变，求x0.,解答,2.曲线yx2在点P(2,4)处的切线与曲线及直线y0所围成的图形的面积为多少？,解决此类问题的关键是利用定积分表示，或求出相关的图形的面积.,反思与感悟,跟踪训练3 在曲线yx2(x0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴 所围成的图形的面积为 ，试求： 切点A的坐标以及在切点A处的切线方程.,解答,解 如图，设切点A(x0，
5、y0)， 其中x00， 由y2x，得过点A的切线方程为 yy02x0(xx0)，,设由曲线和过点A的切线与x轴所围成的图形的面积为S， 则SS曲边AOBSABC，,x01，从而切点为A(1,1)， 切线方程为2xy10.,当堂训练,1.在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有,答案,解析, , ,A. B. C. D.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,答案,解析,2.已知二次函数yf(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成的图形的面积为,1,2,3,4,5,答案,解析,3.曲线yex，yex及x1所围成的图形的面积为_.,解析 如图，所围成的图形的面积为,1,2
6、,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,解答,解 作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积. 由x210，得抛物线与x轴的交点坐标是(1,0)和(1,0)，,5.求由抛物线yx21，直线x2，y0所围成的图形的面积.,因此所求图形的面积为,规律与方法,对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时： (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标. (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差. 这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了.注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.,本课结束,