1、1.6 微积分基本定理,第一章 导数及其应用,学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的积分.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 微积分基本定理(牛顿莱布尼茨公式),思考1,已知函数f(x)2x1，F(x)x2x，则 (2x1)dx与F(1)F(0)有什么关系？,答案,思考2,对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使得F(x)f(x)?,答案,答案 不唯一.根据导数的性质，若F(x)f(x)，则对任意实数c，都有F(x)cF(x)cf(x).,(1)微积分基本定理 条件：f(x)是区间a，b上的连续函数，并且 ；
2、,梳理,F(b)F(a),F(b)F(a),F(x)f(x),知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系,思考,定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？,答案,答案 当被积函数f(x)0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f(x)0不恒成立，则不相等.,设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则 (1)当曲边梯形在x轴上方时，如图，则 f(x)dx . (2)当曲边梯形在x轴下方时，如图，则 f(x)dx . (3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图，则 f(x)dx.特别地，若S上S下，则 f(x)dx .,梳理,S上,S下,S上S下,0,题型探究,类型一 求定积
3、分,命题角度1 求简单函数的定积分 例1 求下列定积分.,解答,解答,解答,(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x). (2)由微积分基本定理求定积分的步骤 第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)； 第二步：计算函数的增量F(b)F(a).,反思与感悟,跟踪训练1 计算下列定积分.,解答,解答,解答,命题角度2 求分段函数的定积分,解答,解答,分段函数的定积分的求法 (1)利用定积分的性质转化为各区间上定积分的和计算. (2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算.,反思与感悟,解答,解答,类型二 利用定积分
4、求参数,3,答案,解析,答案,解析,引申探究,解答,(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提. (2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念.,反思与感悟,答案,解析,0,2),答案,解析,当堂训练,1,2,3,4,答案,解析,A.5 B.4 C.3 D.2,1,2,3,4,答案,解析,1,2,3,4,3.已知f(x)ax2bxc(a0)，且f(1)2，f(0)0， f(x)dx2. 求a，b，c的值.,解 f(1)2，abc2， f(x)2axb，f(
5、0)b0， ,由可得a6，b0，c4.,解答,1,2,3,4,解答,1,2,3,4,取F1(x)2x22x，则F1(x)4x2； 取F2(x)sin x，则F2(x)cos x.,1,2,3,4,规律与方法,1.求定积分的一些常用技巧 (1)对被积函数，要先化简，再求积分. (2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分. 2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.,本课结束,