1、1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念,学习目标 1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 函数的平均变化率,假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系.A是出发点，H是山顶.爬山路线用函数yf(x)表示.,思考1,若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？,答案 自变量x的改变量为x2x1，记作x，函数值的改变量为y2y1，记作y.,答案,自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高度.设点A
2、的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2).,思考2,怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？,答案 对山路AB来说，用 可近似地刻画其陡峭程度.,答案,思考3,观察函数yf(x)的图象，平均变化率 表示什么？,答案 观察图象可看出， 表示曲线yf(x)上两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)连线的斜率.,函数yf(x)从x1到x2的平均变化率,梳理,(2)实质： 的增量与 的增量之比. (3)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢. (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)是函数yf(x)的图象上两点， 则平均变化率 表示割线P1P2的 .,函数值,自变
3、量,斜率,答案 当t趋近于0时， 趋近于10，这时的平均速度即为当t1时的瞬时速度.,思考1,知识点二 瞬时速度,物体的路程s与时间t的关系是s(t)5t2.试求物体在1,1t这段时间内的平均速度.,答案 s5(1t)2510t5(t)2， 105t.,答案,思考2,当t趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？,瞬时速度 (1)物体在 的速度称为瞬时速度.,梳理,某一时刻,极限,知识点三 函数在某点处的导数,对于函数f(x)x21.,思考,如何求f(x0)?,答案,梳理,f(x0)或,题型探究,例1 (1)已知函数yf(x)2x23x5. 求：当x14，x25时，函数增量y
4、和平均变化率 ；,类型一 函数的平均变化率,命题角度1 求函数的平均变化率,解答,解 因为f(x)2x23x5， 所以yf(x1x)f(x1) 2(x1x)23(x1x)5( 3x15) 2(x)22x1x3x 2(x)2(4x13)x.,当x14，x25时，x1， y2(x)2(4x13)x21921， 21.,求：当x14，x24.1时，函数增量y和平均变化率 .,解 当x14，x24.1时，x0.1， y2(x)2(4x13)x0.021.91.92.2x(4x13)19.2.,解答,(2)求函数yf(x)x2在x1,2,3附近的平均变化率，取x都为 ，哪一点附近的平均变化率最大？,解答
5、,解 在x1附近的平均变化率为,2x； 在x2附近的平均变化率为,4x； 在x3附近的平均变化率为,由于k1k2v乙 B.v甲v乙 C.v甲v乙 D.大小关系不确定,答案,解析,解析 设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在0，t0上的平均变化率v甲kAC，s2(t)在0，t0上的平均变化率v乙kBC.因为kACkBC，所以v甲v乙.,(2)过曲线yf(x) 图象上一点(2，2)及邻近一点(2x，2y) 作割线，则当x0.5时割线的斜率为_.,答案,解析,解析 当x0.5时，2x2.5，,类型二 求瞬时速度,例3 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t
6、(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1表示，求物体在t1 s时的瞬时速度.,解答,物体在t1处的瞬时变化率为3. 即物体在t1 s时的瞬时速度为3 m/s.,引申探究 1.若例3中的条件不变，试求物体的初速度.,解 求物体的初速度，即求物体在t0时的瞬时速度.,解答,物体在t0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.,2.若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.,解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.,解答,则2t019，t04. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.,(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本类题的常见错
7、误. (2)求运动物体瞬时速度的三个步骤 求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)；,反思与感悟,跟踪训练3 一质点M按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.,解 质点M在t2时的瞬时速度即为函数在t2处的瞬时变化率. 质点M在t2附近的平均变化率为,解答,类型三 求函数在某一点处的导数,答案,解析,(2)利用导数的定义求函数yf(x) 在x1处的导数.,解答,反思与感悟,(1)求函数yf(x)在点x0处的导数的三个步骤,简称：一差，二比，三极限.,(2)瞬时变化率的变形形式,跟踪训练4 已知f(x
8、)3x2，f(x0)6，求x0.,又f(x0)6，6x06，即x01.,解答,当堂训练,1,2,3,4,5,1.一物体的运动方程是s32t，则在2,2.1这段时间内的平均速度是 A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2,答案,解析,1,2,3,4,5,A.9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率 B.9.8 m/s是1 s到(1t)s这段时间内的速率 C.9.8 m/s是物体在t1 s这一时刻的速率 D.9.8 m/s是物体从1 s到(1t)s这段时间内的平均速率,答案,解析,解析 由导数的定义可得.,1,2,3,4,5,3.函数yf(x)2x24x在x3处的导数为_.,16,答案,解析,1,2,3,4,5,4.如图，函数yf(x)在x1，x2，x2，x3，x3，x4这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是_.,x3，x4,答案,解析,1,2,3,4,5,5.已知函数f(x) 在x1处的导数为2，则实数a的值是_.,2,由题意知，a2，a2.,答案,解析,规律与方法,利用导数定义求导数三步曲： (1)求函数的增量yf(x0x)f(x0)；,函数在x0处的导数f(x0)只与x0有关，与x无关. 导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.,本课结束,