1、3.2 立体几何中的向量方法(一)空间向量与平行关系,学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量. 3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 直线的方向向量与平面的法向量,思考,怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？,答案,(1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量 来表示.我们把向量 称为点P的位置向量. (2)直线：直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量. 对于直线l上的任一点
2、P，存在实数t，使得 此方程称为直线的向量参数方程. (3)平面：空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定.对于平面上的任一点P，a，b是平面内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得 xayb. 空间中平面的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示.,梳理,(1)用向量表示直线的位置,一点,方向向量,位置,(2)用向量表示平面的位置 通过平面上的一个定点O和两个向量a和b来确定：,通过平面上的一个定点A和法向量来确定：,方向向量,(3)直线的方向向量和平面的法向量,方向向量n,非零,(4)空间中平行关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则,
3、kv(kR),ab,a0,知识点二 利用空间向量处理平行问题,思考,(1)设v1(a1，b1，c1)，v2(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1l2，则向量v1，v2应满足什么关系.,由直线方向向量的定义知若直线l1l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1l2v1v2v1v2(R).,答案,思考,(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？,可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行.,答案,(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？,关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面
4、平行.,答案,梳理,利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.,题型探究,类型一 求直线的方向向量、平面的法向量,例1 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.ABAP1，AD ，试建立恰当的空间直角坐标系， 求平面ACE的一个法向量.,解答,因为PA平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直.设n(x，y，z)为平面ACE的法向量，,引申探究 若
5、本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.,解答,即直线PC的一个方向向量. 设平面PCD的法向量为n(x，y，z).,利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n(x，y，z).,反思与感悟,(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取1). (6)得结论：得到平面的一个法向量.,跟踪训练1 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB平面ABCD，PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形.ABC60，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法向量.,解答,因为PAPB，F为AB的中点，所以PFAB，
6、 又因为平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，PF平面PAB. 所以PF平面ABCD，因为ABBC，ABC60， 所以ABC是等边三角形，所以CFAB. 以F为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图所示).,设平面DEF的法向量为m(x，y，z).,类型二 利用空间向量证明平行问题,例2 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证： (1)FC1平面ADE；,证明,建立如图所示空间直角坐标系Dxyz， 则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，,令z
7、12，则y11， 所以n1(0，1，2).又因为FC1平面ADE， 所以FC1平面ADE.,令z22，得y21， 所以n2(0，1，2)， 因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.,(2)平面ADE平面B1C1F.,证明,反思与感悟,利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.,跟踪训练2 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面所成的角为45，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，PA BC AD1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由.,解
8、答,分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，E是PD的中点，存在E点，当点E为PD中点时，CE平面PAB.,当堂训练,1.若A(1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为 A.(1，2，3) B.(1，3，2) C.(2，1，3) D.(3，2，1),答案,解析,2,3,4,5,1,2.已知直线l1的方向向量a(2，3，5)，直线l2的方向向量b(4，x，y)，若l1l2，则x，y的值分别是 A.6和10 B.6和10 C.6和10 D.6和10,所以x，y的值分别是6和10.,2,3,4,5,
9、1,答案,解析,2,3,4,5,1,3.若(2，3，1)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是 A.(0，3，1) B.(2，0，1) C.(2，3，1) D.(2，3，1),能作为平面的法向量的向量与(2，3，1)共线，(2，3，1).,答案,解析,2,3,4,5,1,A.4 B.6 C.8 D.8,答案,解析,2,3,4,5,1,5.在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为_ _.,(1，1，1),(答案不惟一),答案,解析,不妨设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)， 设平面ACD1的一个法向量a(x，y，z)，(注：答案不惟一，只要与所给答案共线都对),2,3,4,5,1,规律与方法,1.应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线. (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行. 2.证明面面平行的方法 设平面的法向量为n1(a1，b1，c1)，平面的法向量为n2(a2，b2，c2)，则n1n2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR).,