1、第三章 3.1 空间向量及其运算,3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示,学习目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题； 2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念； 3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 空间向量基本定理,思考1,平面向量基本定理的内容是什么？,如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.,答案,思考2,平面向量的基底惟一确定吗？,
2、不惟一.,答案,梳理,(1)空间向量基本定理,(2)基底 条件：三个向量a，b，c . 结论： 叫做空间的一个基底. 基向量：基底中的向量a，b，c都叫做基向量.,a，b，c,不共面,任一,pxaybzc,不共面,知识点二 空间向量的坐标表示,思考1,平面向量的坐标是如何表示的？,在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使axiyj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y惟一确定，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐
3、标.,答案,思考2,基底不同，向量的坐标相同吗？,不同.,答案,梳理,空间向量的正交分解及其坐标表示,p(x，y，z),垂直,单位,e1，e2，e3,题型探究,类型一 基底的概念,例1 若a，b，c是空间的一个基底.试判断ab，bc，ca能否作为该空间的一个基底？,解答,假设ab，bc，ca共面， 则存在实数、使得ab(bc)(ca)， abba()c. a，b，c为基底，a，b，c不共面.ab，bc，ca不共面. ab，bc，ca可以作为空间的一个基底.,基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底. (2)方法：如果向量
4、中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底. 假设abc，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.,反思与感悟,跟踪训练1 (1)已知a，b，c是不共面的三个非零向量，则可以与向量pab，qab构成基底的向量是 A.2a B.2b C.2a3b D.2a5c,答案,(2)以下四个命题中正确的是_. 空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示； 若a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量； 如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线； 任何三个不共线的向量都可
5、构成空间的一个基底.,答案,解析,因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故不正确；正确； 由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以作基底，故正确； 空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故不正确.,类型二 用基底表示向量,解答,连接AC，AD.,解答,解答,解答,反思与感悟,用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果. (3)下结论：利用空间向量的一个基底a，b，c可以表
6、示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.,解答,H为OBC的重心，D为BC的中点，,类型三 空间向量的坐标表示,解答,解答,解答,引申探究,反思与感悟,用坐标表示空间向量的步骤,OM2MA，点M在OA上，,答案,解析,当堂训练,1.在以下三个命题中，真命题的个数是 三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面； 若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线； 若a、b是两个不共线的向量，而cab(、R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底. A.0 B.1 C.2 D.3,正确.基底的量必须不共面；正确； 不
7、正确.a，b不共线，当cab时，a、b、c共面，故只有正确.,答案,解析,2,3,4,5,1,2.已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8，6，4)，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标是 A.(12，14，10) B.(10，12，14) C.(14，12，10) D.(4，3，2),设点A在基底a，b，c下对应的向量为p，则p8a6b4c8i8j6j6k4k4i12i14j10k，故点A在基底i，j，k下的坐标为(12，14，10).,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,3.若ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，dabc，
8、则，的值分别为_.,d(e1e2e3)(e1e2e3)(e1e2e3) ()e1()e2()e3e12e23e3，,答案,解析,2,3,4,5,1,答案,解析,(0，2，1),(2，2，1),2,3,4,5,1,答案,解析,规律与方法,1.基底中不能有零向量.因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量. 2.空间几何体中，欲得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标. 3.用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则.逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.,