1、第二章 2.4 抛物线,2.4.2 抛物线的简单几何性质,学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 抛物线的范围,思考,观察右侧图形，思考以 下问题： (1)观察焦点在x轴的抛物 线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？,抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心.,答案,思考,(2)根据图
2、形及抛物线方程y22px(p0)如何确定横坐标x的范围？,由抛物线y22px(p0)有 所以x0.所以抛物线x的范围为x0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.,答案,梳理,抛物线y22px(p0)中，x ，y . 抛物线y22px(p0)中，x ，y . 抛物线x22py(p0)中，x ，y . 抛物线x22py(p0)中，x ，y .,(，0,0，),(，),(，0,(，),(，),0，),(，),知识点二 四种形式的抛物线的几何性质,知识点三 直线与抛物线的位置关系,当k0时，若0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；若0时，直线与抛物线有
3、个公共点；若0).抛物线的标准方程为y212x或y212x， 其准线方程分别为x3或x3.,例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.,解答,引申探究 将本例改为“若抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4”，求此抛物线的标准方程.,解答,由题意，设抛物线方程为y22mx(m0)，所以|AB|2|m|. 因为OAB的面积为4，,用待定系数法求抛物线方程的步骤,反思与感悟,跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2
4、y24相交于A，B两点，|AB| ，求抛物线方程.,解答,由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上. 故可设抛物线方程为y2ax(a0). 设抛物线与圆x2y24的交点A(x1，y1)，B(x2，y2). 抛物线y2ax(a0)与圆x2y24都关于x轴对称， 点A与B关于x轴对称，所求抛物线方程是y23x或y23x.,类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题,由抛物线y28x的焦点为(2，0)，得直线的方程为yx2，代入y28x得(x2)28x即x212x40.所以x1x212，弦长为x1x2p12416.,例2 (1)过抛物线y28x的焦点，倾斜角为45的直线被抛物线截得的弦长为_
5、.,16,答案,解析,(2) 直线l过抛物线y24x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为_.,xy10或xy10,答案,解析,抛物线y24x的焦点坐标为(1，0)， 若l与x轴垂直，则|AB|4，不符合题意， 可设所求直线l的方程为yk(x1).,(3)过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_.,答案,解析,(1)抛物线上任一点P(x0，y0)与焦点F的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为：,反思与感悟,(2)已知AB是过抛物线y22px(p0
6、)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：,以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. (3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.,跟踪训练2 已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点. (1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；,解答,因为直线l的倾斜角为60，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25，,(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离.,解答,命题角度1 与抛物线有关的最值问题,类型三 抛物线综合问题,解答,抛物线y24x的准线方程为x
7、1， 如图，过点P作PN垂直x1于点N， 由抛物线的定义可知|PF|PN|，即PAN最小，即PAF最大， 此时，PA为抛物线的切线，,得k2x2(2k24)xk20， 所以(2k24)24k40， 解得k1，,(1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点. (2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决.,反思与感悟,跟踪训练3 已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是,由题意知，直线l2：x1为抛物线y24x的准线.由
8、抛物线的定义知，点P到直线l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1，0)的距离.故所求最值可转化为在抛物线y24x上找一个点P，使得点P到点F(1，0)和到直线l1的距离之和 最小，最小值为F(1，0)到直线l1：4x3y60的距离，即d 2.,答案,解析,命题角度2 定值或定点问题 例4 抛物线y22px(p0)上有两动点A，B及一个定点M，F为抛物线的焦点，若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列. (1)求证：线段AB的垂直平分线过定点Q.,证明,设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，即t(xx0p)yp0，可知线段AB的垂直平分线过定点Q(x0p，0).,(2)若|M
9、F|4，|OQ|6(O为坐标原点)，求抛物线的方程.,解答,反思与感悟,在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数关系的利用、焦半径的转化等.,设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x得y24ty4b0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b.t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b，解得b2，故直线过定点(2，0).,证明,当堂训练,答案,解析,1.已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线A
10、F的斜率为,2,3,4,5,1,2.已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为,答案,解析,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,易知抛物线的准线方程为x1，则线段AB的中点到准线的距离为3(1)4.由抛物线的定义易得|AB|8.,3.过抛物线y24x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|_.,8,答案,解析,4.已知过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p_.,2,3,4,5,1,2,答案,解析,设点A，B的坐标
11、分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 易知过抛物线y22px(p0)的焦点F，y1y22p，y1y2p2.即(2p)24(p2)32. 又p0，p2.,2,3,4,5,1,5.已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且|AK| |AF|，则AFK的面积为_.,易知F(2，0)，K(2，0)，过点A作AM垂直准线于点M，则|AM|AF|，,8,答案,解析,2,3,4,5,1,规律与方法,1.抛物线的中点弦问题用点差法较简便. 2.轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系. 3.在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.,