1、2019 年江西省宜春市高安市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）13 的倒数是（ ）A B C3 D32如图 1 放置的一个机器零件，若其主（正）视图如图 2，则其俯视图是（ ）A B C D3已知 sina ，且 a 是锐角，则 a（ ）A75 B60 C45 D304学校开展为贫困地区捐书活动，以下是 5 名同学捐书的册数：2，2，x，4，9已知这组数据的平均数是 4，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）A2 和 2 B4 和 2 C2 和 3 D3 和 25如图，Rt ABC 中，
2、ACB90，DE 过点 C 且平行于 AB，若BCE35，则A 的度数为（ ）A35 B45 C55 D656假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去则从最初位置爬到 4 号蜂房中，不同的爬法有（ ）A4 种 B6 种 C8 种 D10 种二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）7计算： +21 8我国最长的河流长江全长约为 6300 千米，用科学记数法表示为 千米9若关于 x 的一元二次方程 x2+2xk0 没有实数根，则 k 的取值范围是 10一个圆锥的
3、底面半径为 3cm，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是 cm 211线段 AB、CD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，O 为坐标原点若线段 AB 上一点 P 的坐标为（a，b），则直线 OP 与线段 CD 的交点的坐标为 12如图，在菱形 ABCD 中，B60，点 E、F 分别从点 B、D 出发以同样的速度沿边 BC、DC向点 C 运动给出以下四个结论：AE AF；CEFCFE；当点 E，F 分别为边 BC， DC 的中点时，AEF 是等边三角形；当点 E，F 分别为边 BC， DC 的中点时，AEF 的面积最大上述结论中正确的序号有 （把你认为正确的序号都填上）三、解答题（本大题共 5 个
4、小题，每小题 6 分，共 30 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13解方程：14如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，每个小格点的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（1）使三角形的三边长分别为 3，2 ， （2）使三角形为边长都为无理数的钝角三角形且面积为 415先化简（1 ） ，再从不等式 2x16 的正整数解中选一个适当的数代入求值16如图，ABC 与ABD 中，AD 与 BC 相交于 O 点，12，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），使 ACBD，并给出证明你添加的条件是： 证明： 17在试制某种洗发液新品种时，需要选用两
5、种不同的添加剂现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5 的六种添加剂可供选用根据试验设计原理，通常要先从芳香度为 0，1，2的三种添加剂中随机选取一种，再从芳香度为 3，4，5 的三种添加剂中随机选取一种，进行搭配试验请你利用树状图（树形图）或列表的方法，表示所选取两种不同添加剂所有可能出现的结果，并求出芳香度之和等于 4 的概率四、（本大题共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分）182008 年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预定下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用 12000 元预定 15 张下表中球类比赛的门票：比赛项目 票价（元/场）男 篮 1000
6、足 球 800乒乓球 500（1）若全部资金用来预定男篮门票和乒乓球门票，问这个球迷可以预订男篮门票和乒乓球门票各多少张？（2）若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，这个球迷想预定上表中三种球类门票，其中足球门票与乒乓球门票数相同，且足球门票的费用不超过男篮门票的费用，问可以预订这三种球类门票各多少张？19如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y 的图象交于 A（2，1），B（1，n）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围20国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于 1 小时”为此，某市就“你每天在校体
7、育活动时间是多少？”的问题随机调查了辖区内 300 名初中学生根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：A 组：t0.5h；B 组：0.5ht1h；C 组：1ht1.5h；D 组：t1.5h请根据上述信息解答下列问题：（1）C 组的人数是 ；（2）本次调查数据的中位数落在 组内；（3）若该辖区约有 24 000 名初中学生，请你估计其中达国家规定体育活动时间的人约有多少？21在平面直角坐标系中，AOB 的位置如图所示，已知AOB90，AO BO，点 A 的坐标为（3，1）（1）求点 B 的坐标；（2）求过 A，O，B 三点的抛物线的解析式；（3）设点 B 关于抛物线的对称轴
8、l 的对称点为 B1，求AB 1B 的面积五、（本大题共 1 小题，共 10 分）22已知：如图， ，在矩形 ABCD 中，AB 4，BC8，P，Q 分别是边 BC，CD 上的点（1）如图 ，若 APPQ，BP 2，求 CQ 的长；（2）如图 ，若 ，且 E，F，G 分别为 AP，PQ，PC 的中点，求四边形 EPGF 的面积六、（本大题共 1 小题，共 12 分）23如图 ， ，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（ 4，0），以点 A 为圆心，4 为半径的圆与 x 轴交于 O，B 两点， OC 为弦，AOC60，P 是 x 轴上的一动点，连接 CP（1）求OAC 的度数；（2）如
9、图 ，当 CP 与A 相切时，求 PO 的长；（3）如图 ，当点 P 在直径 OB 上时，CP 的延长线与A 相交于点 Q，问 PO 为何值时，OCQ 是等腰三角形？2019 年江西省宜春市高安市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数【解答】解：3（ ）1，3 的倒数是 故选：A【点评】主要考查倒数的概念及性质倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题2【分析】找到从上面看所
10、到的图形即可【解答】解：从上面看可得到左右相邻的 3 个矩形故选：D【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看到的视图3【分析】根据 sin60 得出 a 的值【解答】解：sinasin60 ，a 是锐角，a60故选：B【点评】本题考查特殊角的三角函数值特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主4【分析】根据平均数的定义得到关于 x 的方程，求 x，再根据中位数和众数的定义求解【解答】解：根据平均数的含义得： 4，所以 x3；将这组数据从小到大的顺序排列（2，2，3，4，9），处于中间位置的数是 3，那么这组数据的中位数是 3；在这一组数据中 2 是出现次数最多
11、的，故众数是 2故选：D【点评】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义，解题要细心5【分析】题中有三个条件，图形为常见图形，可先由 ABDE，BCE35，根据两直线平行，内错角相等求出B，然后根据三角形内角和为 180求出A【解答】解：ABDE ，BCE 35，BBCE35（两直线平行，内错角相等），又ACB90，A903555（在直角三角形中，两个锐角互余）故选：C【点评】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的6【分析】本题应分两种情况考虑：当蜜蜂先向右爬行时；当蜜蜂先向右上爬行时；然后将两种情况中所以可能的爬行路线一一列出，即
12、可求出共有多少种不同的爬法【解答】解：本题可分两种情况：蜜蜂先向右爬，则可能的爬法有：一、124；二、1 34；三、132 4；共有 3 种爬法；蜜蜂先向右上爬，则可能的爬法有：一、034；二、0 324；三、012 4；三、0134；四、0 1324；共 5 种爬法；因此不同的爬法共有 3+58 种故选：C【点评】本题应该先确立大致的解题思路，然后将有可能的爬法按序排列，以免造成头绪混乱，少解错解等情况二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）7【分析】分别根据零指数幂，负指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：原式（ ） 0+21 1+ 1
13、 故答案为 1 【点评】本题主要考查了零指数幂，负指数幂的运算负整数指数为正整数指数的倒数；任何非 0 数的 0 次幂等于 18【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a10 的 n 次幂的形式），其中 1|a| 10，n 表示整数n 为整数位数减 1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以 10的 n 次幂此题 n0，n3【解答】解：6 3006.310 3故答案为：6.310 3【点评】用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定 a：a 是只有一位整数的数；（2）确定 n：当原数的绝对值10 时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减 1；当原数的绝对值1 时，n 为负整数，
14、n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）9【分析】若关于 x 的一元二次方程 x2+2xk0 没有实数根，则b 24ac 0，列出关于 k 的不等式，求得 k 的取值范围即可【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+2xk0 没有实数根，b 24ac0，即 2241（k）0，解这个不等式得：k1故答案为：k1【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根10【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长底面周长，可求得圆锥的底面周长以及圆锥母线长，那么圆锥的侧面积底面周长母线长2【解答】
15、解：底面半径为 3cm，则底面周长6cm，侧面展开图是半圆，则母线长622 6cm ，圆锥的侧面积 6618 cm2【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解11【分析】根据坐标图，可知 B 点坐标是（4，3），D 点坐标是（8，6），A 点坐标是（3，1），C 点坐标是（6，2），那么连接 BD，直线 BD 一定过原点 O，连接 AC 直线 AC 一定过原点 O，且 B 是 OD 的中点，同理 A 是 OC 的中点，于是 AB 是 OCD 的中位线，从 AB 上任取一点P（a、b），则直线 OP 与 CD 的交点 E 的坐标是（2a，2b）【解答】解：设直线 OP 与线段 CD 的交点
16、为 E，ABCD，且 O，B，D 三点在一条直线上，OBBDOPPE若点 P 的坐标为（a，b），点 E 的坐标是（2a，2b）故答案为（2a，2b）【点评】正确的读图是解决本题的前提条件，由 ABCD 联想到三角形相似，或平行线分线段成比例定理，是解决这道题的关键12【分析】根据菱形的性质对各个结论进行验证从而得到正确的序号【解答】解：点 E、F 分别从点 B、D 出发以同样的速度沿边 BC、DC 向点 C 运动，BEDF ，ABAD ，BD，ABE ADF，AEAF，正确；CECF，CEFCFE， 正确；在菱形 ABCD 中，B60，ABBC，ABC 是等边三角形，当点 E，F 分别为边
17、BC，DC 的中点时，BE AB，DF AD，ABE 和ADF 是直角三角形，且BAEDAF30，EAF 120303060，AEF 是等边三角形， 正确；AEF 的面积菱形 ABCD 的面积ABE 的面积ADF 的面积CEF 的面积 AB2 BEAB 2 （ABBE） 2 BE2+ AB2，AEF 的面积是 BE 的二次函数，当 BE0 时，AEF 的面积最大，错误故正确的序号有【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和等边三角形的判定三、解答题（本大题共 5 个小题，每小题 6 分，共 30 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13【分析】观察可得方程最简公分母为：（x+1）（
18、12x），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解【解答】解：两边同乘以（x+1）（12x），得：（x1）（12x ）+2x （ x+1）0，整理，得 5x10，解得 x ，经检验，x 是原方程的根【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解（2）解分式方程一定注意要验根14【分析】（1）（2）利用数形结合的思想解决问题即可【解答】解：（1）满足条件的ABC 如图所示（2）满足条件的DEF 如图所示【点评】本题考查作图应用与设计，无理数，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型15【分析】先把括号里的式子进行通
19、分，再把后面的式子根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解，然后约分，再求出不等式的解集，最后代入一个合适的数据代入即可【解答】解：（1 ） ，2x16，2x7，x ，把 x3 代入上式得：原式 4【点评】此题考查了分式的化简求值以及一元一次不等式的解法，用到的知识点是通分、完全平方公式、平方差公式以及一元一次不等式的解法，熟练掌握公式与解法是解题的关键16【分析】要使 ACBD，可以证明ACBBDA 或者ACOBDO 从而得到结论【解答】解：添加条件例举：ADBC；OCOD；CD；CAODBC 等证明：（1）如果添加条件是 ADBC 时，BCAD，21，AB BA，在ABC 与BAD 中，A
20、BCBAD，ACBD；（2）如果添加条件是 OCOD 时，12OAOBOA+ ODOB+ODBCAD又21，ABBA在ABC 与BAD 中， ，ABCBAD，ACBD；（3）如果添加条件是C D 时，21，ABBA ，在ABC 与BAD 中，ABCBAD，ACBD；（4）如果添加条件是CAODBC 时，12，CAO+1DBC+ 2，CABDBA，又ABBA，21，在ABC 与BAD 中， ，ABCBAD，ACBD故答案为：ADBC；OCOD；CD ；CAODBC【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质；判定两个三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA ，AAS ，本题已知一边一角，所以可以寻
21、找夹这个角的另外一边或者是另外两个角17【分析】因为此题需要两步完成，所以采用列表法或者采用树状图法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验列举出所有情况，让芳香度之和等于 4 的情况数除以总情况数即为所求的概率【解答】解：列表法：第一次第二次0 1 23 3 4 54 4 5 65 5 6 7树状图：（4 分）所有可能出现的结果共有 9 种，芳香度之和等于 4 的结果有两种所选取两种不同添加剂的芳香度之和等于 4 的概率为 【点评】考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是
22、放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比四、（本大题共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分）18【分析】（1）男篮门票总价+乒乓球门票总价12000，列方程即可求解；（2）关系式为：男篮门票总价+乒乓球门票总价+足球门票总价12000；足球门票的费用男篮门票的费用据此列不等式即可求解【解答】解：（1）设预定男篮门票 x 张，则乒乓球门票（15x）张，根据题意得1000x+500（15x ）12000解得 x915x1596答：这个球迷可以预订男篮门票和乒乓球门票各 9 张，6 张；（2）设足球门票与乒乓球门票数都预定 y 张，则男篮门票数为（152y）张，根据题意
23、得解得由 y 为正整数可得 y5，152y 5答：预订这三种球类门票各 5 张【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系及符合题意的不等关系式组19【分析】（1）利用点 A 的坐标可求出反比例函数解析式，再把 B（1，n）代入反比例函数解析式，即可求得 n 的值，于是得到一次函数的解析式；（2）根据图象和 A，B 两点的坐标即可写出一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围【解答】解：（1）A（2，1）在反比例函数 y 的图象上，1 ，解得 m2反比例函数解析式为 y ，B（1，n）在反比例函数 h 上，n2，B 的坐标（1，2），把 A（2，1），B（1，2）代入 ykx+
24、b 得 ，解得： ，一次函数的解析式为 yx1；（2）由图象知：当 x2 或 0x1 时，一次函数的值大于反比例函数【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出反比例函数解析式和一次函数的解析式20【分析】（1）根据直方图可得总人数以及各小组的已知人数，进而根据其间的关系可计算 C组的人数；（2）根据中位数的概念，中位数应是第 150、151 人时间的平均数，分析可得答案；（3）首先计算样本中达国家规定体育活动时间的频率，再进一步估计总体达国家规定体育活动时间的人数【解答】解：（1）根据题意有，C 组的人数为 3002010060120；（2）根据中位数的概念，中位数
25、应是第 150、151 人时间的平均数，分析可得其均在 C 组，故调查数据的中位数落在 C 组；（3）达国家规定体育活动时间的人数约占 100%60%所以，达国家规定体育活动时间的人约有 2400060%14400（人）；故答案为：（1）120，（2）C，（3）达国家规定体育活动时间的人约有 14400 人【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力同时考查中位数的求法：给定 n 个数据，按从小到大排序，如果 n 为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n 为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数21【分析】（1）如果过 A 作 ACx 轴，垂足为 C，作 BDx 轴垂足为
26、 D不难得出AOC 和BOD 全等，那么 B 的横坐标就是 A 点纵坐标的绝对值，B 的纵坐标就是 A 点的横坐标的绝对值，由此可得出 B 的坐标（2）已知了 A，O 的坐标，根据（ 1）求出的 B 点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式（3）根据（2）的解析式可得出对称轴的解析式，然后根据 B 点的坐标得出 B1 的坐标，那么BB1 就是三角形的底边，B 的纵坐标与 A 的纵坐标的差的绝对值就是ABB 1 的高，由此可求出其面积【解答】解：（1）作 ACx 轴，垂足为 C，作 BDx 轴垂足为 D则ACOODB90，AOC+OAC90又AOB90，AOC+BOD90OACBOD在ACO
27、和ODB 中，ACOODB（AAS）ODAC1，DBOC3点 B 的坐标为（1，3）（2）因抛物线过原点，故可设所求抛物线的解析式为 yax 2+bx将 A（3，1），B（1，3）两点代入，得 ，解得：a ，b故所求抛物线的解析式为 y x2+ x（3）在抛物线 y x2+ x 中，对称轴 l 的方程是 x 点 B1 是 B 关于抛物线的对称轴 l 的对称点，故 B1 坐标（ ，3）在AB 1B 中，底边 B1B ，高的长为 2故 SAB1B 2 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定以及用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识点五、（本大题共 1 小题，共 10 分）22【分析】（
28、1）、由同角的余角相等可得APBPQC，故ABPPCQ，有 ，代入 BP，AB ，PC 的值求得 CQ 的值；（2）、取 BP 的中点 H，连接 EH，由三角形的中位线的性质可得四边形 EHGF 是直角梯形，由 ，设 CQa，有 BP2a，用含 a 的代数式表示出 EH，FG，HP，HG，两用梯形和三角形的面积公式求得 S 四边形 EPGFS 梯形 EHGFS EHP 的值【解答】解：（1）四边形 ABCD 是矩形BC90，CPQ+PQC90，APPQ ，CPQ+APB90，APB PQC，ABP PCQ， ，即 ，CQ3；（2）解法一：取 BP 的中点 H，连接 EH，由 ，设 CQa，则
29、BP2a，E，F，G，H 分别为 AP， PQ，PC，BP 的中点，EHAB，FGCD，又ABCD，BC90，EHFG ，EHBC，FGBC ，四边形 EHGF 是直角梯形，EH AB2，FG CQ a，HP BPa，HGHP+PG BC4，S 梯形 EHGF （EH+FG）HG （2+ a）44+a，S EHP HPEH a2a，S 四边形 EPGFS 梯形 EHGF SEHP 4+aa4；解法二：连接 AQ，由 2 ，设 CQa，则 BP2a，DQ 4a，PC82a，S APQ S 矩形ABCDS ABP S PCQ S ADQ48 2a4 （82a）a 8（4a）a 24a+16E，F，
30、G 分别是 AP，PQ，PC 的中点EFAQ ，EF AQPEFPAQ ，S PEF SAPQ （a 24a+16）同理：S PFG SPCQ a（82a）S 四边形 EPGFS PEF +SPFG （a 24a+16）+ a（82a）4【点评】本题利用了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形和梯形的面积公式求解六、（本大题共 1 小题，共 12 分）23【分析】（1）OAAC 首先三角形 OAC 是个等腰三角形，因为AOC60，三角形 AOC是个等边三角形，因此OAC60；（2）如果 PC 与圆 A 相切，那么 ACPC ，在直角三角形 APC 中，有PCA 的度数，有 A 点的坐标也就
31、有了 AC 的长，可根据余弦函数求出 PA 的长，然后由 POPAOA 得出 OP 的值（3）本题分两种情况：以 O 为顶点，OC，OQ 为腰那么可过 C 作 x 轴的垂线，交圆于 Q，此时三角形 OCQ 就是此类情况所说的等腰三角形；那么此时 PO 可在直角三角形 OCP 中，根据COA 的度数，和OC 即半径的长求出 PO以 Q 为顶点，QC，QD 为腰，那么可做 OC 的垂直平分线交圆于 Q，则这条线必过圆心，如果设垂直平分线交 OC 于 D 的话，可在直角三角形 AOQ 中根据QAE 的度数和半径的长求出Q 的坐标；然后用待定系数法求出 CQ 所在直线的解析式，得出这条直线与 x 轴的
32、交点，也就求出了 PO 的值【解答】解：（1）AOC60，AOAC，AOC 是等边三角形，OAC60（2）CP 与A 相切，ACP90，APC90OAC30；又A（4，0），ACAO4，PA2AC8 ，POPAOA844（3） 过点 C 作 CP1OB，垂足为 P1，延长 CP1 交A 于 Q1；OA 是半径， ，OCOQ 1，OCQ 1 是等腰三角形；又AOC 是等边三角形，P 1O OA2；过 A 作 AD OC，垂足为 D，延长 DA 交 A 于 Q2，CQ 2 与 x 轴交于 P2；A 是圆心，DQ 2 是 OC 的垂直平分线，CQ 2OQ 2，OCQ 2 是等腰三角形；过点 Q2 作 Q2Ex 轴于 E，在 Rt AQ2E 中，Q 2AE OAD OAC30，Q 2E AQ22，AE2 ，点 Q2 的坐标（4+ ，2）；在 Rt COP1 中，P 1O2，AOC60， ，C 点坐标（2， ）；设直线 CQ2 的关系式为 ykx+b，则，解得 ，yx+2+2 ；当 y0 时，x2+2 ，P 2O2+2 【点评】本题综合考查函数、圆的切线，等边三角形的判定以及垂径定理等知识点要注意（3）中的等腰三角形要按顶点和腰的不同来分类讨论