1、2017-2018 学年浙江省宁波市慈溪市八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分）1下列方程是一元二次方程的是（ ）A（x7）xx 2 Bx 3+2x+10 C2x+ +10 Dx 212要使式子 有意义，a 的取值范围是（ ）Aa0 Ba2 且 a0 Ca2 或 a0 Da2 且 a03一元二次方程 4x22x + 0 的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C没有实数根 D无法判断4华联超市 4 月份的营业额为 220 万元，5 月份营业额为 242 万元，如果保持同样的增长率，6 月份应完成营业额（ ）万元A264 B26
2、6.2 C272.4 D2865某校为了解全校同学五一假期参加社团活动的情况，抽查了 100 名同学，统计它们假期参加社团活动的时间，绘成频数分布直方图（如图），则参加社团活动时间的中位数所在的范围是（ ）A46 小时 B68 小时 C810 小时 D不能确定6用配方法解一元二次方程 x24x10，配方后得到的方程是（ ）A（x2） 21 B（x2） 24 C（x2） 25 D（x 2） 237某校规定学生的学期数学成绩满分为 100 分，其中研究性学习成绩占 40%，期末卷面成绩占60%，小明的两项成绩（百分制）依次是 80 分，90 分，则小明这学期的数学成绩是（ ）A80 分 B82 分
3、 C84 分 D86 分8下列说法：伸缩门的制作运用了四边形的不稳定性；夹在两条平行线间的垂线段相等；成中心对称的两个图形不一定是全等形；一组对角相等的四边形是平行四边形；用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，必先假设“四边形中至多有一个角是钝角或直角”，其中正确的是（ ）A B C D9如图，ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AEBC，垂足为E，AB ，AC2，BD4，则 AE 的长为（ ）A B C D10若 ，则 化简的结果是（ ）A2a3 B1 Ca D111已知方程 x2+2x30 的解是 x11，x 23，则另一个方程（x +3） 2+2（x+3）30
4、 的解是（ ）Ax 11，x 23 Bx 11，x 23Cx 1 2，x 26 Dx 12 ，x 2612如图，已知OABC 的顶点 A，C 分别在直线 x1 和 x4 上，O 是坐标原点，则对角线 OB 长的最小值为（ ）A3 B4 C5 D6二、填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）13一个多边形的内角和比四边形内角和的 4 倍多 180，这个多边形的边数是 14平行四边形的周长为 24cm，相邻两边长的比为 3：1 ，那么这个平行四边形较短的边长为 cm15已知（x 2+y2）（x 2+y2 1）12，则 x2+y2 的值是 16已知一组数1，x，0，1，2 的平均数是
5、0，则这组数据的方差是 17如图，任意四边形 ABCD 各边中点分别是 E、F、G 、H ，若对角线 AC、BD 的长都为 10cm，则四边形 EFGH 的周长是 cm18如图，小明用三个等腰三角形（图中 ）拼成了一个平行四边形 ABCD，且D90C，则C 度三、解答题19（9 分）计算：（1）（2）20（6 分）用适当的方法解下列一元二次方程：（1）x 22x（2）x 24x+1021（7 分）八（2）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各 10 人的比赛成绩如下表（10 分制）：甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9（1）甲队
6、成绩的中位数是 分，乙队成绩的众数是 分；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差是 1.4，则成绩较为整齐的是 队22（6 分）已知关于 x 的方程 x2+2x+a20（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围；（2）当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及方程的另一根23（8 分）图 1、图 2 是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫做格点（1）在图 1 中画出等腰直角三角形 MON，使点 N 在格点上，且MON90；（2）在图 2 中以格点为顶点画一个平行四边形 ABCD，使平行四边形 ABCD 面积
7、等于（1）中等腰直角三角形 MON 面积的 4 倍（画出一种即可）24（8 分）某厂生产一种旅行包，每个旅行包的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100 个时，每多订购一个，订购的全部旅行包的出厂单价就降低 0.02 元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过 550 个（1）设销售商一次订购量为 x 个，旅行包的实际出厂单价为 y 元，写出当一次订购量超过 100 个时，y 与 x 的函数关系式；（2）求当销售商一次订购多少个旅行包时，可使该厂获得利润 6000 元？（售出一个旅行包的利润实际出厂单价成本）25（10 分）如图，平行四边形
8、ABCD 中，AE 平分BAD，交 BC 于点 E，且 ABAE，延长 AB与 DE 的延长线交于点 F求证：（1）ABE 是等边三角形；（2）ABCAED；（3）S ABE S CEF 26（12 分）我们知道平行四边形有很多性质如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，那么会发现这其中还有更多的结论发现与证明：在ABCD 中，ABBC，将ABC 沿 AC 翻折至 AB C，连接 BD结论 1：BDAC；结论 2：ABC 与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形请利用图 证明结论 1 或结论 2（只需证明一个结论）应用与探究：在ABCD 中，已知B30，将ABC 沿 AC 翻折至ABC ，连
9、接 BD（1）如图 ，若 AB ， ABD 75，则ACB ，BC ；（2）如图 ， AB2 ，BC1，AB与边 CD 相交于点 E，求AEC 的面积；（3）已知 AB2 ，当 BC 长为多少时，B AD90？2017-2018 学年浙江省宁波市慈溪市八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分）1下列方程是一元二次方程的是（ ）A（x7）xx 2 Bx 3+2x+10 C2x+ +10 Dx 21【分析】一元二次方程必须满足以下条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数同时满足以
10、上四个条件的方程就是一元二次方程【解答】解：A、方程化简得到 7x0，是一元一次方程，故错误；B、未知项的最高次数是 3，故错误；C、不是整式方程，故错误；D、符合一元二次方程的定义，正确故选：D【点评】本题考查了一元二次方程的概念，解答时要先观察方程特点，再依据以上四个方面的要求进行有针对性的判断2要使式子 有意义，a 的取值范围是（ ）Aa0 Ba2 且 a0 Ca2 或 a0 Da2 且 a0【分析】分子中二次根式的被开方数是非负数，而且分母不能为 0，同时满足两个条件，求 a 的范围【解答】解：根据题意，得解得 a2 且 a0故选：D【点评】考查二次根式的意义和性质概念：式子 （a0）
11、叫二次根式性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义当式子中有分母时还要考虑分母不等于零3一元二次方程 4x22x + 0 的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C没有实数根 D无法判断【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出0，由此即可得出原方程有两个相等的实数根【解答】解：在方程 4x22x+ 0 中，（2） 2 44（ ）0，一元二次方程 4x22x + 0 有两个相等的实数根故选：B【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当0 时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键4华联超市 4 月份的营业额为 220 万元，5 月份营业额为 242 万
12、元，如果保持同样的增长率，6 月份应完成营业额（ ）万元A264 B266.2 C272.4 D286【分析】首先根据 4 月份与 5 月份的营业额算出增长率，再根据这个增长率求出 6 月份的营业额【解答】解：根据题意，可得增长率 100%10%，则 6 月份应完成营业额是 242（1+10%）266.2故选：B【点评】求出增长率是此题的关键注意此题的增长率为100%5某校为了解全校同学五一假期参加社团活动的情况，抽查了 100 名同学，统计它们假期参加社团活动的时间，绘成频数分布直方图（如图），则参加社团活动时间的中位数所在的范围是（ ）A46 小时 B68 小时 C810 小时 D不能确定
13、【分析】100 个数据的中间的两个数为第 50 个数和第 51 个数，利用统计图得到第 50 个数和第 51个数都落在第三组，于是根据中位数的定义可对各选项进行判断【解答】解：100 个数据，中间的两个数为第 50 个数和第 51 个数，而第 50 个数和第 51 个数都落在第三组，所以参加社团活动时间的中位数所在的范围为 68（小时）故选：B【点评】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数6用配方法解一元二次方程 x24x10，配方后得到的方程是（ ）A（x2） 21 B（x2） 24 C（x2） 25 D
14、（x 2） 23【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时首先进行移项，变形成 x24x1，两边同时加上 4，则把左边配成完全平方式，右边化为常数【解答】解：x 24x 10x 24x1x 24x+41+4（x2） 25故选：C【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数7某校规定学生的学期数学成绩满分为 100 分，其中研究性学习成绩占 40%，期末卷面成绩占60%，小明的两项成绩（百分制）依次是 80 分，90 分，
15、则小明这学期的数学成绩是（ ）A80 分 B82 分 C84 分 D86 分【分析】利用加权平均数的公式直接计算即可得出答案【解答】解：由加权平均数的公式可知 86，故选：D【点评】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的公式 是解题的关键8下列说法：伸缩门的制作运用了四边形的不稳定性；夹在两条平行线间的垂线段相等；成中心对称的两个图形不一定是全等形；一组对角相等的四边形是平行四边形；用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，必先假设“四边形中至多有一个角是钝角或直角”，其中正确的是（ ）A B C D【分析】直接利用四边形的性质以及中心对称图形的性质和反证法分别分析得出答案【
16、解答】解：伸缩门的制作运用了四边形的不稳定性，正确；夹在两条平行线间的垂线段相等，正确；成中心对称的两个图形不一定是全等形，错误，一定全等；一组对角相等的四边形是平行四边形，错误；用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，必先假设“四边形中没有一个角是钝角或直角”，故此选项错误其中正确的是 故选：A【点评】此题主要考查了四边形的性质以及中心对称图形的性质和反证法，正确把握相关定义是解题关键9如图，ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AEBC，垂足为E，AB ，AC2，BD4，则 AE 的长为（ ）A B C D【分析】由勾股定理的逆定理可判定BAO 是直角三角形，所以平
17、行四边形 ABCD 的面积即可求出【解答】解：AC2，BD4，四边形 ABCD 是平行四边形，AO AC1，BO BD2，AB ，AB 2+AO2BO 2，BAC90，在 RtBAC 中，BC SBAC ABAC BCAE， 2 AE，AE ，故选：D【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出BAC 是直角三角形是解此题的关键10若 ，则 化简的结果是（ ）A2a3 B1 Ca D1【分析】根据 a 的取值范围，进而化简求出即可【解答】解： ， （2a）a12+a2a3故选：A【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简和估计无理数的大小，正确开平方以及去绝对值是解题关键11已
18、知方程 x2+2x30 的解是 x11，x 23，则另一个方程（x +3） 2+2（x+3）30 的解是（ ）Ax 11，x 23 Bx 11，x 23Cx 1 2，x 26 Dx 12 ，x 26【分析】根据已知方程的解得出 x+31，x+33，求出两个方程的解即可【解答】解：方程 x2+2x30 的解是 x11，x 23，方程（x+3） 2+2（x+3）30 中 x+31 或3，解得：x2 或6，即 x12，x 26，故选：D【点评】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出 x+31 和 x+33 是解此题的关键12如图，已知OABC 的顶点 A，C 分别在直线 x1 和 x4 上，O
19、 是坐标原点，则对角线 OB 长的最小值为（ ）A3 B4 C5 D6【分析】过点 B 作 BD直线 x4，交直线 x4 于点 D，过点 B 作 BEx 轴，交 x 轴于点 E则OB 由于四边形 OABC 是平行四边形，所以 OABC，又由平行四边形的性质可推得OAF BCD，则可证明OAFBCD，所以 OE 的长固定不变，当 BE 最小时，OB取得最小值，从而可求【解答】解：过点 B 作 BD 直线 x4，交直线 x4 于点 D，过点 B 作 BEx 轴，交 x 轴于点E，直线 x1 与 OC 交于点 M，与 x 轴交于点 F，直线 x4 与 AB 交于点 N，如图：四边形 OABC 是平行
20、四边形，OABBCO，OCAB，OABC，直线 x1 与直线 x4 均垂直于 x 轴，AMCN，四边形 ANCM 是平行四边形，MANNCM，OAFBCD，OFABDC90，FOADBC，在OAF 和BCD 中，OAFBCDBDOF 1，OE4+1 5，OB 由于 OE 的长不变，所以当 BE 最小时（即 B 点在 x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OBOE5故选：C【点评】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键二、填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）13一个多边形的内角和比四边形内角和
21、的 4 倍多 180，这个多边形的边数是 11 【分析】一个边数为 n 的多边形，其内角和为（n2）180，故四边形内角和为 360，已知所求多边形的内角和是四边形内角和的 4 倍多 180，因此多边形的内角和为 3604+180度，根据多边形的内角和公式列方程解答即可【解答】解：设这个多边形的边数是 n，由题意得，（n2）1803604+180解得 n11故答案为：11【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键14平行四边形的周长为 24cm，相邻两边长的比为 3：1 ，那么这个平行四边形较短的边长为 3 cm【分析】根据平行四边形中对边相等和已知条件即可
22、求得较短边的长【解答】解：如图平行四边形的周长为 24cmAB+BC24212BC：AB3： 1AB3cm故答案为 3【点评】本题利用了平行四边形的对边相等的性质，设适当的参数建立方程求解15已知（x 2+y2）（x 2+y2 1）12，则 x2+y2 的值是 4 【分析】变形后分解因式，得出两个方程，求出即可【解答】解：（x 2+y2）（x 2+y21）12，（x 2+y2） 2（ x2+y2）12 0，（x 2+y2+3）（x 2+y24）0，x2+y2+30，x 2+y240，x2+y23，x 2+y24，不论 x、y 为何值，x 2+y2 不能为负数，x 2+y24，故答案为：4【点评
23、】本题考查了解一元二次方程的应用，能得出两个方程是解此题的关键16已知一组数1，x，0，1，2 的平均数是 0，则这组数据的方差是 2 【分析】先由平均数的公式计算出 x 的值，再根据方差的公式计算【解答】解：由题意得：x0（0+112）2数据的方差 S2 （1 0） 2+（20） 2+（00） 2+（10） 2+（20） 22故填 2【点评】本题考查方差的定义一般地设 n 个数据，x 1，x 2，x n 的平均数为 ，则方差 S2 （x 1 ） 2+（x 2 ） 2+（x n ） 2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立17如图，任意四边形 ABCD 各边中点分别是
24、E、F、G 、H ，若对角线 AC、BD 的长都为 10cm，则四边形 EFGH 的周长是 20 cm【分析】利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于 AC 或 BD 的一半，进而求四边形周长即可【解答】解：E，F，G，H，是四边形 ABCD 各边中点HG AC， EF AC，GF HE BD四边形 EFGH 的周长是 HG+EF+GF+HE （AC +AC+BD+BD） （10+10+10+10 ）20（cm ）故答案为：20【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解决本题的关键是找到四边形的四条边与已知的两条对角线的关系三角形中位线的性质为我们证明两直线平行，两条线段之间的数量关系又
25、提供了一个重要的依据18如图，小明用三个等腰三角形（图中 ）拼成了一个平行四边形 ABCD，且D90C，则C 72或 度【分析】分两种求出，分别构建方程即可解决问题；【解答】解：由题意可知：ADDE ，DAEDEA，设DAEDEAx，四边形 ABCD 是平行四边形，CDAB ，CDAB ，DEAEABx ，CDAB 2x，AE AB 时，若 BEBC，则有BECC，即 （180x）2x，解得 x36，C72，若 ECEB，则有 EBC C2x，DAB+ABC180，4x+ （180x）180，解得 x ，C ，EA EB 时，同法可得C72，综上所述，C72或 故答案为 72或 【点评】本题考
26、查平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型三、解答题19（9 分）计算：（1）（2）【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，然后进行有理数的加减运算；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后去绝对值后合并即可【解答】解：（1）原式65+34；（2）原式 32 + 36【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍20（6 分）用适当的方法解下列一元二次方程：（1）x 22x（2）x
27、 24x+10【分析】（1）先把等号右边的项都移到等号左边，再将方程左边提取公因式 x，运用因式分解法转化为两个一元一次方程求解；（2）方程利用配方法求出解即可【解答】解：（1）x 22x ，解：x 22x0 x（x2）0 x10，x 22；（2）x 24x+10，x24x1x24x+4 1+4，（x2） 23，x2 x12+ ，x 22 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法和配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键21（7 分）八（2）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各 10 人的比赛成绩如下表（10 分制）：甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10乙 10
28、8 7 9 8 10 10 9 10 9（1）甲队成绩的中位数是 9.5 分，乙队成绩的众数是 10 分；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差是 1.4，则成绩较为整齐的是 乙 队【分析】（1）根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可；（2）先求出乙队的平均成绩，再根据方差公式进行计算；（3）先比较出甲队和乙队的方差，再根据方差的意义即可得出答案【解答】解：（1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是（9+10）29.5（分），则中位数是 9.5 分；乙队成绩中 10 出现
29、了 4 次，出现的次数最多，则乙队成绩的众数是 10 分；故答案为：9.5，10；（2）乙队的平均成绩是： （104+82+7+93）9，则方差是： 4（10 9） 2+2（89） 2+（79） 2+3（99） 21；（3）甲队成绩的方差是 1.4，乙队成绩的方差是 1，成绩较为整齐的是乙队；故答案为：乙【点评】本题考查方差、中位数和众数：中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一般地设 n 个数据，x 1，x 2，x n 的平均数为 ，则方差 S2 （x 1 ） 2+（x 2 ） 2+（x n ） 2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大
30、，波动性越大，反之也成立22（6 分）已知关于 x 的方程 x2+2x+a20（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围；（2）当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及方程的另一根【分析】（1）关于 x 的方程 x22x +a20 有两个不相等的实数根，即判别式 b 24ac 0即可得到关于 a 的不等式，从而求得 a 的范围（2）设方程的另一根为 x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出 a 的值和方程的另一根【解答】解：（1）b 24ac（2） 241（a2）124a0，解得：a3a 的取值范围是 a3；（2）设方程的另一根为 x1，由根与系数的关系得：，解得： ，则 a
31、 的值是1，该方程的另一根为3【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根23（8 分）图 1、图 2 是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫做格点（1）在图 1 中画出等腰直角三角形 MON，使点 N 在格点上，且MON90；（2）在图 2 中以格点为顶点画一个平行四边形 ABCD，使平行四边形 ABCD 面积等于（1）中等腰直角三角形 MON 面积的 4 倍（画出一种即可）【分析】（1）过点 O 向线段 OM 作垂线
32、，此直线与格点的交点为 N，连接 MN 即可；（2）根据勾股定理画出图形即可【解答】解：（1）如图 1 所示，MON 即为所求；（2）如图 2 所示，平行四边形 ABCD 即为所求【点评】本题考查的是作图应用与设计作图，熟知勾股定理是解答此题的关键24（8 分）某厂生产一种旅行包，每个旅行包的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100 个时，每多订购一个，订购的全部旅行包的出厂单价就降低 0.02 元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过 550 个（1）设销售商一次订购量为 x 个，旅行包的实际出厂单价为 y 元，写出当一次订购量超过 10
33、0 个时，y 与 x 的函数关系式；（2）求当销售商一次订购多少个旅行包时，可使该厂获得利润 6000 元？（售出一个旅行包的利润实际出厂单价成本）【分析】（1）可根据关键语“当一次订购量超过 100 个时，每多订一个，订购的全部旅行包的出厂单价就降低 0.02 元”来列函数式（2）根据（1）中得到的关系式和“利润实际出厂单价成本”进行求解【解答】解：（1）y60（x100）0.02620.02x（100x 550）；（2）根据题意可列方程为：600060（x100）0.02x40x，整理可得：x 21100x +3000000（x500）（x600）0x1500，x 2600（舍去）销售商订
34、购 500 个时，该厂可获利润 6000 元【点评】找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解25（10 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AE 平分BAD，交 BC 于点 E，且 ABAE，延长 AB与 DE 的延长线交于点 F求证：（1）ABE 是等边三角形；（2）ABCAED；（3）S ABE S CEF 【分析】（1）由平行四边形的性质得出 ADBC，ADBC，由 AE 平分BAD，可得BAEDAE ，可得BAE BEA，得 ABBE，由 ABAE，得到ABE 是等边三角形；（2）由（1）可得ABEEAD60，由 SAS
35、证明ABCEAD；（3）由FCD 与ABD 等底（ABCD）等高（AB 与 CD 间的距离相等），得出 SFCD S ABD，由 AEC 与DEC 同底等高，所以 SAEC S DEC ，得出 SABE S CEF 【解答】（1）ABCD 是平行四边形ADBC，ADBC，EADAEB，又AE 平分BAD ，BAE DAE，BAE BEA，ABBE，ABAE，ABE 是等边三角形；（2）ABE 是等边三角形ABE EAD60，ABAE，BCAD，ABCEAD（SAS）；（3）FCD 与ABC 等底（ABCD）等高（AB 与 CD 间的距离相等），S FCD S ABC ，又AEC 与DEC 同底
36、等高，S AEC S DEC ，S ABE S CEF ；【点评】此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析26（12 分）我们知道平行四边形有很多性质如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，那么会发现这其中还有更多的结论发现与证明：在ABCD 中，ABBC，将ABC 沿 AC 翻折至 AB C，连接 BD结论 1：BDAC；结论 2：ABC 与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形请利用图 证明结论 1 或结论 2（只需证明一个结论）应用与探究：在ABCD 中，已知B30，将ABC 沿 AC 翻折至ABC ，连接 BD（1
37、）如图 ，若 AB ， ABD 75，则ACB 45 ，BC ；（2）如图 ， AB2 ，BC1，AB与边 CD 相交于点 E，求AEC 的面积；（3）已知 AB2 ，当 BC 长为多少时，B AD90？【分析】【发现与证明】通过三角形全等即可求得ACBCAD，即可得到结论 2；进而根据等腰三角形的性质证得ADBDAC ，根据平行线的判定即可证得结论 1；【应用与探究】（1）根据对折的性质求得ABC 30，从而求得CBD45，由于 BDAC，得出ACB CBD45，进而即可求得 ACB 45 ；作 AGBC 于 G，根据解直角三角形即可求得 BC；（2）作 CGAB于 G，通过解直角三角形求得
38、 CG ，BG ，进而求得AG2 ，设 AECE x，则 EG x，根据勾股定理即可求得 x 值，即AE 的值，然后根据三角形的面积公式即可求得AEC 的面积；（3）先证得四边形 ACBD 是等腰梯形，根据等腰梯形的性质得出ABCCDA30，BADDCB 90，设 ADBCBD y，则 ABDy30，根据AB D+ ADB 90 ，得出 y30+y90，解得 y60，进而求得ABD30，通过解直角三角形即可求得 BC【解答】解：【发现与证明】结论 2：在ABCD 中，AB BC，将ABC 沿 AC 翻折至 AB C ，连接 BD 如图 1，四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，BCAD，B
39、 ADC，将ABC 沿 AC 翻折至ABC ，ABAB，BCBC， ABCB，ABCD，BCAD，ABC ADC，在ABC 和CAD 中，ABC CAD（SAS），ACBCAD，设 AD、B C 相交于 E，AECE，ACE 是等腰三角形，即ABC 与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形；结论 1：BCAD，AE CE，BEDE ，CBDADB，AECBED ，ACBCAD，ADBDAC，BDAC；【应用与探究】（1）如图 1，在ABCD 中，B30，将ABC 沿 AC 翻折至ABC ，ABC 30，ABD75 ，CBD45，BDAC，ACBCBD45，ACBACB，ACB45；作 AGBC
40、于 G，AGCG，B30，AG AB ，CG ，BG ，BCBG+ CG ，故答案为：45， ；（2）如图 2，作 CGAB 于 G，B30，ABC 30，CG BC BC ， BG BC BC ，ABAB2 ，AG2 ，设 AECEx，则 EG x ，CG 2+EG2CE 2，（ ） 2+（ x ） 2x 2，解得 x ，AE ，AEC 的面积 AECG ；（3）如图 2，ADBC，BCBC，ADB C ，ACBD，四边形 ACBD 是等腰梯形，B30，ABC CDA30，ABD 是直角三角形，当BAD 90 ，AB BC 时，设ADBCBDy ，ABDy30，ABD+ADB90，y30+y
41、 90，解得 y 60，ABDy3030，ABAB2 ，AD 2 2，BC2，当ADB90，AB BC 时，如图 3，ADBC，BCBC，ADB C ，ACBD，四边形 ACBD 是等腰梯形，ADB90，四边形 ACBD 是矩形，ACB90，ACB90，B30，AB 2 ，BC AB 2 3；当BAD 90 ABBC 时，如图 4，ADBC，BCBC，ADB C ，ACBD，BAD 90，BGC90，B30，AB 2 ，ABC 30，GC BC BC，G 是 BC 的中点，在 RTABG 中， BG AB3，BC6；当ABD90 时，如图 5，ADBC，BCBC，ADB C ，ACBD，四边形 ACDB是等腰梯形，ABD90 ，四边形 ACDB是矩形，BAC90，B30，AB 2 ，BCAB 4；综上所述，当 BC 的长为 2 或 3 或 4 或 6 时，AB D 是直角三角形【点评】本题考查几何变换综合题、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题