1、1.2.2 充要条件,第一章 1.2 充分条件与必要条件,学习目标 1.理解充要条件的意义. 2.会判断、证明充要条件. 3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 充要条件的概念,pq,充要条件,(1)定义：若pq且qp，则记作 ，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件. (2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的 .,如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：,知识点二 常见的四种条件与命题真假的关系,知识点三 从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条
2、件,其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立.,思考辨析 判断正误 1.若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.( ) 2.若q是p的充要条件，则p是q的充要条件.( ),题型探究,例1 (1)设x0，yR，则“xy”是“x|y|”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件,类型一 充要条件的判断,解析 分别判断xyx|y|与x|y|xy是否成立，从而得到答案. 当x1，y2时，xy，但x|y|不成立； 若x|y|，因为|y|y，所以xy. 所以xy是x|y|的必要不充分条件.,答案,解析,(2)下列所给的p，q中，p是q的充要条
3、件的为_.(填序号) 在ABC中，p：AB，q：sin Asin B； 若a，bR，p：a2b20，q：ab0； p：|x|3，q：x29.,解析 在ABC中，有ABsin Asin B， 所以p是q的充要条件. 若a2b20，则ab0，即pq； 若ab0，则a2b20，即qp，故pq， 所以p是q的充要条件. 由于p：|x|3q：x29，所以p是q的充要条件.,答案,解析,反思与感悟 判断p是q的充分必要条件的两种思路 (1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断pq及qp这两个命题是否成立.若pq成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若qp成立，则p是q的必要条件，同时q
4、是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件. (2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断pq及qp的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.,跟踪训练1 (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是 A.ab0 B.ab0 C.a2b20 D.a2b20,答案,解析,解析 a2b20，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2b20.,(2)“x1”是“ (x2)1x23 (x2)1x1，故“x1”是“ (x2)0(a0)的解集.p：xA，q：xB，若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围
5、.,解答,解 由x28x200，解得2x10， Ax|2x10， 由(x1a)(x1a)0，得xa1， Bx|x1a， 则p：2x10，q：1ax1a， p是q的充分不必要条件，,解得a9， a的取值范围是9，).,解答,引申探究 本例中若p，q不变，是否存在实数a，使p是q的充要条件，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.,解 p：2x10，q：1ax1a，,故不存在实数a使得p是q的充要条件.,反思与感悟 由条件关系求参数的取值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系. (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解.,跟踪训练2 若“x21”是“x1， 所
6、以x1. 又因为“x21”是“x1但x21xa. 如图所示：,所以a1，所以a的最大值为1.,1,答案,解析,类型三 充要条件的探求与证明,例3 (1)“函数yx22xa没有零点”的充要条件是_.,a1,解析 函数没有零点，即方程x22xa0无实根，所以有44a0，解得a1. 反之，若a1，则0，方程x22xa0无实根，即函数没有零点. 故“函数yx22xa没有零点”的充要条件是a1.,答案,解析,(2)求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.,证明,证明 充分性：ac0， 方程一定有两个不等实根， 设两实根为x1，x2，则x1x2 0， 即ac0. 综上可知，一元
7、二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是acy，得yx0. (2)充分性：由xy0及xy，,证明,达标检测,答案,1.“x22 017”是“x22 016”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,1,2,3,4,5,答案,解析,2.a0,1,2,3,4,5,解析 ab0a0，b0，而a0，b0ab0，得x3， q：Bx|x3.,m3，即m的取值范围是3，).,1.充要条件的判断有三种方法：定义法、命题等价法、集合法. 2.充要条件的证明与探求 (1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的，在证明时要注意两种叙述方式的区别： p是q的充要条件，则由pq证的是充分性，由qp证的是必要性； p的充要条件是q，则由pq证的是必要性，由qp证的是充分性. (2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.,规律与方法,