1、第2课时 抛物线几何性质的应用,第二章 2.3.2 抛物线的简单几何性质,学习目标 1.进一步加深对抛物线几何特性的认识. 2.掌握解决直线与抛物线相关综合问题的基本方法.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 直线与抛物线的位置关系,思考 直线与抛物线有且只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？,答案 不一定，当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线相交.,梳理 (1)直线与抛物线的位置关系有 、 、 ，直线与抛物线的公共点个数与由它们的方程组成的方程组的解的个数一致. (2)由方程ykxb与y22px联立，消去y得k2x22(kbp)xb20.当k0时，若0，则直
2、线与抛物线有 个不同的公共点；若0，则直线与抛物线有 个公共点；若0)的通径长为2a.( ),题型探究,例1 已知直线l：yk(x1)与抛物线C：y24x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？,类型一 直线与抛物线的位置关系,解答,消去y，得k2x2(2k24)xk20， (2k24)24k416(1k2). 若直线与抛物线有两个交点， 则k20且0， 即k20且16(1k2)0， 解得k(1,0)(0,1)， 所以当k(1,0)(0,1)时， 直线l和抛物线C有两个交点.,若直线与抛物线有一个交点， 则k20或当k20时，0， 解得k0或k1， 所以当k0或k1时，
3、直线l和抛物线C有一个交点. 若直线与抛物线无交点， 则k20且1或k1或k0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得，k2x2(2kb2p)xb20. (1)若k20，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. (2)若k20，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当0时，直线与抛物线相离，无公共点.,跟踪训练1 设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是,答案,解析,解析 准线方程为x2，Q(2,0). 由题意知，直线的斜率存在， 设l：yk(x2)，,得k2x24(k
4、22)x4k20. 当k0时，x0，即交点为(0,0)； 当k0时，由0，得1k0或00. 设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，,P1P2的中点为(4,1)，,所求直线方程为y13(x4)， 即3xy110， y1y22，y1y222，,方法二 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2).,所求直线的斜率k3， 所求直线方程为y13(x4)， 即3xy110.,y1y22，y1y222，,反思与感悟 中点弦问题解题策略两方法,解答,解 设所求抛物线方程为y2ax(a0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，,由(a16)22560，得a0或a0. 所求抛物线方程为y24x或y23
5、6x.,类型三 抛物线中的定点(定值)问题,例3 已知点A，B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB. (1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；,解答,解 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，,因为OAOB，所以kOAkOB1， 所以x1x2y1y20.,因为y10，y20， 所以y1y24p2， 所以x1x24p2.,(2)求证：直线AB过定点.,证明,所以(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，,即直线AB过定点(2p,0).,反思与感悟 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题
6、的关键是代换和转化.,跟踪训练3 如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值.,证明,证明 设kABk(k0). 直线AB，AC的倾斜角互补， kACk(k0)， 即直线AB的方程是yk(x4)2.,消去y后，整理得k2x2(8k24k)x16k216k40. A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，,直线BC的斜率为定值.,达标检测,1.过点P(0,1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有 A.4条 B.3条 C.2条 D.1条,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析 当斜率不存在时，过P
7、(0,1)的直线是y轴，与抛物线y2x只有一个公共点. 当斜率存在时，设直线为ykx1.,得k2x2(2k1)x10， 当k0时，符合题意； 当k0时，令(2k1)24k20，,所以与抛物线只有一个交点的直线共有3条.,答案,解析,2.已知直线ykxk及抛物线y22px(p0)，则 A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点,1,2,3,4,5,解析 直线ykxkk(x1)，直线过点(1,0). 又点(1,0)在抛物线y22px的内部， 当k0时，直线与抛物线有一个公共点；当k0时，直线与抛物线有两个公共点.,
8、答案,解析,1,2,3,4,5,3.已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，设C的焦点为F，则直线BF的斜率为,1,2,3,4,5,设直线AB的方程为xk(y3)2(k0)， 将与y28x联立，得y28ky24k160， 令(8k)24(24k16)0，,1,2,3,4,5,4.若直线xy2与抛物线y24x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是_.,1,2,3,4,5,答案,解析,(4,2),解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,y1y24，x1x2y1y248， 中点坐标为(4,2).,1,2,3,4,5,解答,5.过点P(2,1)作抛物线y24x的弦AB，若弦恰被P点平分. (1)求弦AB所在的直线方程(用一般式表示)；,解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,由于直线的斜率存在，,从而直线AB的方程为y12(x2)， 即2xy30.,1,2,3,4,5,解答,(2)求弦长|AB|.,消去y得，4x216x90，,求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化.,规律与方法,