1、3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念,第三章 3.1 变化率与导数,学习目标 1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 函数yf(x)从x1到x2的平均变化率,假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系.A是出发点，H是山顶.爬山路线用函数yf(x)表示.,自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2).,思考1 若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y
2、的改变量分别是多少？,答案 自变量x的改变量为x2x1，记作x，函数值的改变量为y2y1，记作y.,思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？AB与BC哪一段更陡峭？,BC更陡峭.,梳理 (1)定义式： _，叫函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率. (2)实质： 的增量与 增量之比. (3)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的 .,函数值,自变量,快慢,(4)平均变化率的几何意义： 设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)是曲线yf(x)上任意不同的两点，函数yf(x) 的平均变化率 为割线AB的斜率，如图所示.,特别提醒：x是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点
3、，即xx2x10，但x可以为正，也可以为负.,知识点二 函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率,某一点,平均变化率,特别提醒：“x无限趋近于0”的含义 x趋于0的距离要多近有多近，即|x0|可以小于给定的任意小的正数，且始终x0.,知识点三 导数的概念,瞬时变化率,f(x0),思考辨析 判断正误 1.函数在某一点的导数与x值的正、负无关.( ) 2.瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量.( ) 3.在导数的定义中，x，y都不可能为零.( ),题型探究,命题角度1 求函数的平均变化率 例1 求函数y2x23在x0到x0x之间的平均变化率，并求当x02，x 时该函数的平均变化率
4、.,类型一 函数的平均变化率,解答,解 当自变量从x0变化到x0x时，函数的平均变化率为,反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1). (2)再计算自变量的改变量xx2x1.,跟踪训练1 (1)已知函数f(x)x22x5的图象上的一点A(1，6)及邻近一点B(1x，6y)，则 _.,x,答案,解析,x.,(2)如图所示是函数yf(x)的图象，则函数f(x)在区间1,1上的平均变化 率为_；函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为_.,答案,解析,解析 函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为,所以函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为,命题角度2 平
5、均变化率的几何意义 例2 过曲线yf(x)x2x上的两点P(1,0)和Q(1x，y)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求x的值.,解答,yf(1x)f(1) (1x)2(1x)(121)x(x)2，,又割线PQ的斜率为2，1x2，x1.,跟踪训练2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在0，t0这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是,A.v甲v乙 B.v甲v乙 C.v甲v乙 D.大小关系不确定,答案,解析,解析 设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在0，t0上的平均变化率v甲kAC，s2(t)在0，t
6、0上的平均变化率v乙kBC.因为kACkBC，所以v甲v乙.,(2)过曲线yf(x) 图象上一点(2，2)及邻近一点(2x，2y) 作割线，则当x0.5时割线的斜率为_.,答案,解析,解析 当x0.5时，2x2.5，,类型二 求瞬时速度,例3 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1表示，则物体在t1 s时的瞬时速度为_ m/s.,3,答案,解析,物体在t1处的瞬时变化率为3， 即物体在t1 s时的瞬时速度为3 m/s.,3t，,解答,引申探究 1.若本例中的条件不变，试求物体的初速度.,解 求物体的初速度，即求物体在t0时的瞬时速度.,1t，,物体在t
7、0处的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.,解答,2.若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.,解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s，,(2t01)t，,则2t019，t04. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.,反思与感悟 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0).,跟踪训练3 一质点M按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a_.,2,解析 质点M在t2时的瞬时速度即为函数在t2处的瞬时变化率. 质点M在t2附近的平均变化率
8、,答案,解析,例4 (1)设函数yf(x)在xx0处可导，且 a，则f(x0) _.,类型三 求函数在某一点处的导数,答案,解析,3f(x0)a，,解答,反思与感悟 (1)求函数yf(x)在点x0处的导数的三个步骤,简称：一差，二比，三极限.,(2)瞬时变化率的变形形式,跟踪训练4 已知f(x)3x2，f(x0)6，求x0.,解答,又f(x0)6，6x06，即x01.,达标检测,1.如果质点M按规律s3t2运动，则在时间段2,2.1中相应的平均速度是 A.4 B.4.1 C.0.41 D.3,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,2.如图，函数yf(x)在A，B两点间的平均变化率是,1,2,3
9、,4,5,解析,A.1 B.1 C.2 D.2,答案,解析,1,2,3,4,5,3.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b为常数)，则 A.f(x)a B.f(x)b C.f(x0)a D.f(x0)b,4.若一物体的运动方程为s7t28，则其在t_时的瞬时速度为1.,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,5.已知函数f(x) 在x1处的导数为2，则实数a的值是_.,2,由题意知a2，a2.,答案,解析,理解平均变化率要注意以下几点：,规律与方法,(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势.自变量的改变量x取值越小，越能准确体现函数的变化情况. 利用导数定义求导数时要特别注意：,(2)函数在x0处的导数f(x0)只与x0有关，与x无关.,