1、3.3.1 函数的单调性与导数,第三章 3.3 导数在研究函数中的应用,学习目标 1.了解导数与函数单调性的关系. 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 函数的单调性与其导数正负的关系,思考1 f(x)x2在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数，那么f(x)在(，0)，(0，)上的函数值的大小如何？,答案 当x(，0)时，f(x)0.,思考2 yf(x)在区间(a，b)上的单调性与yf(x)在区间(a，b)上的函数值的正、负有何关系？,答案 在区间(a，b)上，f(x)0，则f(
2、x)在(a，b)上为增函数； 在区间(a，b)上，f(x)0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似). (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.,一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得 ，这时，函数的图象就比较“ ”(向上或向下)；反之，函数的图象就“ ”一些.,知识点二 函数的变化快慢与导数的关系,平缓,陡峭,快,思考辨析 判断正误 1.函数f(x)在定义域上都有f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增. ( ) 2.函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡
3、峭”.( ) 3.函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大. ( ),题型探究,例1 已知函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是图中的,类型一 原函数和导函数图象之间的关系,答案,解析,解析 由函数yf(x)的图象的增减变化趋势判断函数yf(x)的正、负情况如下表：,由表分析函数yf(x)的图象：当x(1，b)时，函数图象在x轴下方；当x(b，a)时，函数图象在x轴上方；当x(a,1)时，函数图象在x轴下方.故选C.,反思与感悟 对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值
4、的正负可判定导函数图象.,跟踪训练1 函数yf(x)在定义域 内可导，其图象如图所示，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集是,答案,解析,类型二 利用导数求函数的单调区间,例2 求下列函数的单调区间. (1)f(x)2x33x236x1；,解答,解 f(x)6x26x36. 由f(x)0，得6x26x360，解得x2； 由f(x)0，解得3x0和f(x)0的区间为增区间，定义域内满足f(x)0，(x2)20. 由f(x)0，得x3， 所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)； 由f(x)0，得x0，,则0k0(或f(x)0， f(x)的单调递增区间为(0，)；,当x变化时
5、，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,(2)若函数g(x) f(x)在1,2上是减函数，求实数a的取值范围.,解答,由已知函数g(x)为1,2上的减函数， 则g(x)0在1,2上恒成立，,达标检测,1.函数f(x)(x1)ex的单调递增区间是 A.(，0) B.(0,1) C.(1,4) D.(0，),答案,解析,1,2,3,4,5,解析 f(x)(x1)ex(x1)(ex)xex，令f(x)0，解得x0，故选D.,答案,2.设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能为,1,2,3,4,5,解析,解析 由f(x)的图象判断出f(x)在区间(，0)上单
6、调递增； 在(0，)上先增再减再增， 在区间(，0)上f(x)0，在(0，)上先有f(x)0，再有f(x)0.只有D符合.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,3.yxln x在(0,5)上是 A.增函数 B.减函数,答案,解析,增函数.,4.已知函数f(x)x3ax在1，)上是增函数，则a的最小值是 A.3 B.2 C.2 D.3,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 f(x)3x2a，函数f(x)x3ax在1，)上是增函数，f(x)3x2a0在1，)上恒成立， f(x)3x2a在1，)上是增函数， 3x2a312a3a， 3a0，a3.,1,2,3,4,5,5.判断函数yax31(aR)在(，)上的单调性.,解 y(ax31)3ax2. 当a0时，y0，函数在R上单调递增； 当a0和f(x)0； (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.,规律与方法,