1、3.4 生活中的优化问题举例,第三章 导数及其应用,学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 生活中的优化问题,1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 . 2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值. 3.解决优化问题的基本思路：,优化问题,上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.,数学建模,思考辨析 判断正误 1.生活中常见到的收益最高、用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题.( ) 2.解决应用问题的关键是建立数学模型.( ),题型探究,
2、例1 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx cm.,类型一 几何中的最值问题,解答,(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？,当且仅当x30x，即x15时，等号成立， 所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x15.,(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.,解答,令V0，得0x20； 令V0，得20x30.,反
3、思与感悟 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验.特别注意：在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域.,跟踪训练1 已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最小时，圆柱的 高h的值为_.,答案,解析,解析 设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底2r2， S圆柱侧2rh， 圆柱的表面积S2r22rh，,令V(r)0，得S6r2，h2r， V(r)只有一个极值点， 当h2r时圆柱的容积最小.,即当圆柱的容积V最小时，,类型二 实际生活中的最值问题,命题角度1 利润最大
4、问题 例2 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额t25t(百万元)(0t3). (1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？,解答,解 设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，当t2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大.,(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额为 x23x(百万元)
5、.请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大.(收益销售额投入),解答,又当00；当2x3时，g(x)0，当x2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大.,反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有： (1)利润收入成本. (2)利润每件产品的利润销售件数.,解答,跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y 10(x6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克
6、. (1)求a的值；,所以a2.,解答,(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,解 由(1)可知，该商品每日的销售量,所以商场每日销售该商品所获得的利润,210(x3)(x6)2,3x0， 所以当x8时，函数取得极小值，且为最小值. 故当建成8个球场时，每平方米的综合费用最省.,反思与感悟 费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.,跟踪训练3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测
7、算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 )x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式；,解答,解 设需新建n个桥墩，则(n1)xm，,(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？,解答,所以x64. 当00，f(x)在区间(64,640)内为增函数， 所以f(x)在x64处取得最小值.,故需新建9个桥墩才能使y最小.,令f(x)0，得 512，,达标检测,1.某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是yf(x)，且f(100)1，这个数据说明在第100天时 A
8、.公司已经亏损 B.公司的盈利在增加 C.公司的盈利在逐渐减少 D.公司有时盈利有时亏损,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 因为f(100)1，所以函数图象在x100处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在逐渐减少.,答案,2.已知某厂家生产某种产品的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y 36x126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 A.11万件 B.9万件 C.7万件 D.6万件,1,2,3,4,5,解析,解析 由yx2360， 解得x6或x6(舍去). 当00； 当x6时，y0，,1,2,3,4,5,解答,5.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出4
9、32件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0x21)的平方成正比.已知当商品单价降低2元时，每星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；,1,2,3,4,5,解 设商品降价x元，则每星期多卖的商品数为kx2. 若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有 f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2). 由已知条件，得24k22，于是有k6. 所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21.,1,2,3,4,5,解答,(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？,解 由(1)得f(x)18x
10、2252x432 18(x2)(x12). 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,故当x12时，f(x)取得极大值. 因为f(0)9 072，f(12)11 664. 所以当定价为301218(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大.,1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x). (2)求函数的导函数f(x)，解方程f(x)0. (3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值. 2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.,规律与方法,