1、1.1.1 正弦定理(二),第一章 1.1 正弦定理和余弦定理,1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题. 2.能根据条件，判断三角形解的个数. 3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 正弦定理的常见变形,1.sin Asin Bsin C ；,3.a ，b ，c ；,4.sin A_，sin B_，sin C_.,abc,2Rsin A,2Rsin B,2Rsin C,2R,思考1,知识点二 判断三角形解的个数,在ABC中，a9，b10，A60，判断三角形解的个数.,答案,故对应的钝角B有90
2、B120， 也满足ABb，则有AB，所以B为锐角，此时B的值唯一；如果ab，则有AA， (1)当B64时， C180(AB)180(4064)76，(2)当B116时， C180(AB)180(40116)24，综上，B64，C76，c30 cm或B116，C24，c13 cm.,引申探究 例1中b28 cm，A40不变，当边a在什么范围内取值时，ABC有两解(范围中保留sin 40)?,解答,如图，A40，CDAD. AC28 cm， 以C为圆心，a为半径画圆弧， 当CDaAC， 即bsin Aab， 28sin 40a28时， ABC有两解(AB1C，AB2C均满足题设).,已知两边和其中
3、一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值.或者根据该正弦值(不等于1时)在0180范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求.,反思与感悟,跟踪训练1 已知一三角形中a b6，A30，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形.,解答,又因为bsin A6sin 303，bsin Aab， 所以本题有解，且有两解，由正弦定理，得,因为ba，BA，B(0，180)， 所以B60或120.,类型二 利用正弦定理求最值或取值范围,例2 在锐角ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，a2bs
4、in A，求cos Asin C的取值范围.,解答,a2bsin A， 由正弦定理，得sin A2sin Bsin A，,由锐角ABC知，,反思与感悟,解决三角形中的取值范围或最值问题： (1)先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素. (2)将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题.,跟踪训练2 在ABC中，若C2B，求 的取值范围.,解答,因为ABC，C2B，,例3 已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ac2b,2cos 2B8cos B50，求角B的大小并判断ABC的形状.,解答,类型三 正弦定理与三角变换的
5、综合,2cos 2B8cos B50， 2(2cos2B1)8cos B50. 4cos2B8cos B30， 即(2cos B1)(2cos B3)0.,ac2b.,ABC是等边三角形.,反思与感悟,借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式.,跟踪训练3 已知方程x2(bcos A)xacos B0的两根之积等于两根之和，其中a、b为ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状.,解答,设方程的两根为x1、x2， 由根与系数的关系，得 bcos Aacos B. 由正弦定理
6、，得sin Bcos Asin Acos B， sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0. A、B为ABC的内角， 0A，0B，AB， AB0，即AB. 故ABC为等腰三角形.,当堂训练,1.在ABC中，AC BC2，B60，则角C的值为 A.45 B.30 C.75 D.90,答案,解析,1,2,3,A45，C75.,1,2,3,2.在ABC中，若 则ABC是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形,答案,解析,tan Atan Btan C， 又A，B，C(0，)，ABC， 故三角形为等边三角形.,1,2,3,3.在ABC中，若abc135，求 的值.,解答,规律与方法,1.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解.首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值. 2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.,本课结束,