1、2.1 数列的概念与简单表示法(二),第二章 数列,1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列. 2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 递推公式,(1)已知数列an的首项a11，且有an3an12(n1，nN*)，则a4_. (2) 已知数列an中，a1a21，且有an2anan1(nN*)，则a4_.,53,3,如果数列an的第1项或前几项已知，并且数列an的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式递推公式也是数列的一种表示
2、方法,梳理,思考2,我们已经知道通项公式和递推公式都能表示数列，那么通项公式和递推公式有什么不同呢？,通项公式和递推公式都是表示数列的方法已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项,答案,知识点二 数列的表示方法,思考,答案,以数列2,4,6,8,10,12，为例，你能用几种方法表示这个数列？,通项公式法：an2n.,列表法：,图象法：,梳理,数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法,题型探究,例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项
3、公式，并在直角坐标系中画出它的图象,类型一 数列的函数特性,解答,如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是an3n1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示),数列的通项公式不外乎把常见的函数式中的x换成n，且nN*，所以善于利用我们熟知的一些基本函数，通过合理的联想、转化，从而达到解决问题的目的,反思与感悟,跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为
4、三角形数，则第10个三角形数是_,三角形数依次为1,3,6,10,15，第10个三角形数为1234 1055.,答案,解析,55,类型二 数列的递推公式,命题角度1 由递推公式求前若干项,写出这个数列的前5项,解答,故an是周期为4的数列,解答,递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项若项数很大，则应考虑数列是否有规律性,反思与感悟,a12，a23， a33a22a133225， a43a32a235239， a53a42a3392517， a63a52a43172933.,跟踪训练2 在数列
5、an中，已知a12，a23，an23an12an(n1)，写出此数列的前6项,解答,n2时， ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 1 2(n1)12n1. a11也适合上式， 所以数列an的通项公式是an2n1.,命题角度2 由递推公式求通项 例3 (1)对于任意数列an，等式：a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an(n2，nN*)都成立试根据这一结论，完成问题：已知数列an满足：a11，an1an2，求通项an；,解答,解答,a11也适合上式，,反思与感悟,a11，a22，a31，a41，a52， a61，a71，a82，. 发现：an6an，数列an具有周期性，周期T6
6、， 证明如下：an2an1an， an3an2an1(an1an)an1an. an6an3(an)an. 数列an是周期数列，且T6. a2 016a33566a61.,跟踪训练3 已知数列an中，a11，a22，an2an1an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列an具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 016项？,解答,当堂训练,1.数列1,3,6,10,15，的递推公式是 A.an1ann，nN* B.anan1n，nN*，n2 C.an1an(n1)，nN* D.anan1(n1)，nN*，n2,1,2,3,答案,解析,由已知得a2a12，a3a23，a4a34
7、， a5a45，anan1n，nN*，n2，故选B.,1,2,3,2.已知数列an满足a12，an1an10(nN*)，则此数列的通项an等于 A.n21 B.n1 C.1n D.3n,答案,解析,an1an1. ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 2 2(1)(n1)3n.,1,2,3,3.用火柴棒按下图的方法搭三角形：,a13，a2325，a33227， a432229，an2n1，nN*.,按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是_.,an2n1，nN*,答案,解析,1.an与an是不同的两种表示，an表示数列a1，a2，an，是数列的一种简记形式.而an只表示数列an的第n项，an与an是“个体”与“整体”的从属关系. 2.数列的表示方法：(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法. 3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.,规律与方法,本课结束,