1、2.3 等差数列的前n项和(一),第二章 数列,1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路. 2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思. 3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 等差数列前n项和公式的推导,高斯用123100(1100)(299)(5051)10150迅速求出了等差数列前100项的和但如果是求123n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？,答案,不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对但我们可以采用倒序相加来回避这个问题： 设Sn1
2、23(n1)n， 又Snn(n1)(n2)21， 2Sn(1n)2(n1)(n1)2(n1)， 2Snn(n1)，,“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和，其方法如下： Sna1a2a3an1an a1(a1d)(a12d)a1(n2)da1(n1)d； Snanan1an2a2a1 an(and)(an2d)an(n2)dan(n1)d 两式相加，得2Snn(a1an)，,梳理,根据等差数列的通项公式ana1(n1)d，,代入上式可得Snna1_.,知识点二 等差数列前n项和公式的特征,思考1,答案,等差数列an中，若已知a27，能求出前3项和S3吗？,思考2,我们对等差数列的通项公
3、式变形：ana1(n1)ddn(a1d)，分析出通项公式与一次函数的关系你能类比这个思路分析一下Sn,答案,梳理,等差数列an的前n项和Sn，有下面几种常见变形：,知识点三 等差数列前n项和公式的性质,思考,如果an是等差数列，那么a1a2a10，a11a12 a20，a21a22a30是等差数列吗？,答案,(a11a12a20)(a1a2a10) (a11a1)(a12a2)(a20a10) 100d，类似可得 (a21a22a30)(a11a12a20)100d. a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是等差数列,梳理,(1)Sm，S2m，S3m分别为等差数列an的前m项，
4、前2m项，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，公差为m2d. (2)若等差数列的项数为2n(nN*)，则S2n ，且S偶S奇， (3)若等差数列的项数为2n1(nN*)， 则S2n1 ，且S奇S偶an，S奇nan，S偶(n1)an，,n(anan1),nd,(2n1)an,题型探究,命题角度1 方程思想 例1 已知一个等差数列an的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？,类型一 等差数列前n项和公式的应用,解答,方法一 由题意知S10310，S201 220，,得a20a1060， 10d60， d6，a14.,
5、(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用； (2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二,反思与感悟,跟踪训练1 在等差数列an中，已知d2，an11，Sn35，求a1和n.,解答,命题角度2 实际应用 例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？,解答,设每次交款数额依次为a1，a2，a20， 则a15
6、01 0001%60(元)， a250(1 00050)1%59.5(元)， a1050(1 000950)1%55.5(元)， 即第10个月应付款55.5元 由于an是以60为首项，以0.5为公差的等差数列，,即全部付清后实际付款1 1051501 255(元),建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解,反思与感悟,跟踪训练2 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？,设n分钟后第1次相遇，依题意，,解
7、答,解之得n7，n20(舍去) 所以第1次相遇是在开始运动后7分钟,(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？,设n分钟后第2次相遇，依题意，,解答,整理得n213n4200. 解之得n15，n28(舍去) 所以第2次相遇是在开始运动后15分钟,类型二 等差数列前n项和的性质的应用,例3 (1)等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m；,解答,方法一 在等差数列中， Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列， 30,70，S3m100成等差数列 27030(S3m100
8、)， S3m210.,即S3m3(S2mSm)3(10030)210.,解答,反思与感悟,等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果,跟踪训练3 设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列 的前n项和，求Tn.,解答,设等差数列an的公差为d，,S77，S1575，,当堂训练,1.在等差数列an中，若S10120，则a1a10的值是 A.12 B.24 C.36 D.48,答案,解析,1,2,3,4,2.记等差数列的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d等于 A.2 B.3 C.6 D.7
9、,答案,解析,解得d3. 方法二 由S4S2a3a4a12da22dS24d， 所以20444d，解得d3.,1,2,3,4,3.在一个等差数列中，已知a1010，则S19_.,19a10 1910190.,1,2,3,4,190,答案,解析,4.已知等差数列an中，,整理得n27n600， 解得n12或n5(舍去)，,1,2,3,4,解答,n12，ana124.,(2)a11，an512，Sn1 022，求d.,解得n4. 又由ana1(n1)d， 即5121(41)d， 解得d171.,解答,1,2,3,4,规律与方法,1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到. 2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量.若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用： 若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN*)；若mn2p，则anam2ap. 3.本节基本思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想.,本课结束,