1、2.4 等比数列(一),第二章 数列,1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 等比数列的概念,观察下列4个数列，归纳它们的共同特点 1，2，4，8，16，；,答案,从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数,1，1，1，1，； 1，1，1，1，.,等比数列的概念和特点 (1)文字定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的 一项的_ 等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q表示(q0),梳理,(3
2、)等比数列各项均 为0.,2,前,比,同一,公比,不能,知识点二 等比中项的概念,思考,答案,在2，8之间插入一个数，使之成等比数列这样的实数有几个？,梳理,等比中项与等比中项的异同，对比如下表：,等比,相反数,ab0,知识点三 等比数列的通项公式,思考,等差数列通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式吗？,答案,等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘根据等比数列的定义得,将上面n1个等式的左、右两边分别相乘，,当n1时，上面的等式也成立 ana1qn1(nN*),梳理,等比数列an首项为a1，公比为q，则ana1qn1.,题型探究,例
3、1 已知f(x)logmx(m0且m1)，设f(a1)，f(a2)，f(an)，是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列an是等比数列,类型一 证明等比数列,证明,由题意知f(an)42(n1)2n2logman， anm2n2，,m0且m1， m2为非零常数， 数列an是等比数列,反思与感悟,(1)求a1，a2；,解答,(2)证明：数列an是等比数列,证明,命题角度1 方程思想 例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项,解答,类型二 等比数列通项公式的应用,设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么,反思与感悟,已知等比数列an的某两项的值，求该数列的其他
4、项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项,跟踪训练2 在等比数列an中 (1)已知a13，q2，求a6；,由等比数列的通项公式得， a63(2)6196.,解答,(2)已知a320，a6160，求an.,设等比数列的公比为q，,解答,所以ana1qn152n1.,命题角度2 等比数列的实际应用 例3 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期),设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是an， 由条件可得，
5、数列an是一个等比数列 其中a10.84，q0.84， 设an0.5，则0.84n0.5. 两边取对数，得nlg 0.84lg 0.5，用计算器算得n4. 答 这种物质的半衰期大约为4年,解答,反思与感悟,等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际含义,跟踪训练3 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(保留到个位，lg 60.778，lg 1.20.079),解答,记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，an，.,从而an51.2n
6、1，这里an30， 故1.2n16，,故n11. 答 从2021年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨,类型三 等比中项,答案,解析,1，a，3成等差数列，,1，b，4成等比数列， b214，b2，,反思与感悟,(1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项； (2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个.,答案,解析,x1.,当堂训练,1.在等比数列an中，a18，a464，则a3等于 A.16 B.16或16 C.32 D.32或32,答案,解析,由a4a1q3，得q38，即q2，,1,2,3,4,2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 A.4 B.8 C.6 D.32,答案,解析,由等比数列的通项公式得，12842n1，2n132， 所以n6.,1,2,3,4,3.已知等比数列an满足a1a23，a2a36，则a7等于 A.64 B.81 C.128 D.243,an为等比数列，,1,2,3,4,答案,解析,又a1a23， a11，故a712664.,4.45和80的等比中项为_.,设45和80的等比中项为G， 则G24580， G60.,1,2,3,4,答案,解析,60或60,规律与方法,1.等比数列的判断或证明,3.等比数列的通项公式ana1qn1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量.,本课结束,