1、2.5 等比数列的前n项和(一),第二章 数列,1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 等比数列的前n项和公式的推导,对于S641248262263，用2乘以等式的两边可得2S64248262263264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?,答案,设等比数列an的首项是a1，公比是q，前n项和Sn可用下面的“错位相减法”求得 Sna1a1qa1q2a1qn1. 则qSna1qa1q2a1qn1a1qn. 由得(1q)Sna1a1qn.,梳理,当q
2、1时，由于a1a2an，所以Snna1.,结合通项公式可得： 等比数列前n项和公式：,知识点二 等比数列的前n项和公式的应用,思考,答案,要求等比数列前8项的和： (1)若已知其前三项，用哪个公式比较合适？,答案,(2)若已知a1，a9，q的值用哪个公式比较合适？,梳理,一般地，使用等比数列求和公式时需注意： (1) 一定不要忽略q1的情况；,(3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个,题型探究,命题角度1 前n项和公式的直接应用 例1 求下列等比数列前8项的和：,类型一 等比数列前n项和公式的应用,解答,解答,求等比数列前n项和
3、，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q1是否成立,反思与感悟,跟踪训练1 若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.,设等比数列的公比为q， a2a420，a3a540， 20q40，且a1qa1q320， 解得q2，且a12.,2,2n12,答案,解析,命题角度2 通项公式、前n项和公式的综合应用 例2 在等比数列an中，a12，S36，求a3和q.,由题意，得若q1，则S33a16，符合题意 此时，q1，a3a12. 若q1，则由等比数列的前n项和公式，,解答,解得q2. 此时，a3a1q22(2)28. 综上所述，q1，a32或q2，a38.,
4、(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论 (2)当q1时，等比数列是常数列，所以Snna1；当q1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式当已知a1，q与n时，用,反思与感悟,跟踪训练2 在等比数列an中，S230，S3155，求Sn.,解答,方法二 若q1，则S3S232， 而事实上，S3S2316，故q1.,类型二 等比数列前n项和的实际应用,例3 借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.0161.061,1.0151.051，精确到整数),解答,
5、方法一 设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1n6，nN*)， 则a010 000，a11.01a0a， a21.01a1a1.012a0(11.01)a， a61.01a5a 1.016a011.011.015a. 由题意，可知a60， 即1.016a011.011.015a0，,故每月应支付1 739元,方法二 一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为 S1104(10.01)6104(1.01)6(元)， 另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为 S2a(10.01)5a(10.0
6、1)4a,故每月应支付1 739元,反思与感悟,解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为SP(1r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和,跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？,解答,用an表示热气球在第n分钟上升的高度，,故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.,当堂训练,1.等比数列1，x，x2，x3，的前n项和Sn等于,答案,解析,当
7、x1时，Snn；,1,2,3,4,1,2,3,4,答案,解析,3.等比数列an的各项都是正数，若a181，a516，则它的前5项的和是 A.179 B.211 C.243 D.275,1,2,3,4,答案,解析,4.某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为_.,去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a,1.13a,1.14a,1.15a. 1.1a1.12a1.13a1.14a1.15a11a(1.151).,1,2,3,4,答案,解析,11a(1.151),规律与方法,1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”. 2.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q1和q1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况. 3.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减的方法求和.,本课结束,