1、3.3.2 简单的线性规划问题(二),第三章 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,1.了解实际线性规划中的整数解求法. 2.会求一些简单的非线性函数的最值.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 非线性约束条件,思考,类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(xa)2(yb)2r2的可行域.,答案,梳理,非线性约束条件的概念.约束条件不是 不等式，这样的约束条件称为非线性约束条件.,二元一次,知识点二 非线性目标函数,思考,在问题“若x、y满足 求z 的最大值”中，你能仿照目标函数zaxby的几何意义来解释z 的几何意义吗？,z 的几
2、何意义是点(x，y)与点(1,1)连线的斜率.,答案,梳理,下表是一些常见的非线性目标函数.,在y轴上的截距,在y轴上的截距 最大(或最小),(x，y),(a，b),平方,交点,(x，y),(a，b),斜率,(x，y),ax,byc0,斜率,交点,题型探究,类型一 生活实际中的线性规划问题,例1 某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元.已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的
3、能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时.问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数),解答,设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件、y件，获取的利润为z百元， 则z2xy(百元),作出可行域如图阴影部分中的整点：,由图可得O(0,0)，A(0,3)，B(2,3)，C ， D(4,0). 平移直线y2xz，又x，yN，所以当直线 过点(3,2)或(4,0)时，z有最大值. 所以工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲种家电4件，可获利最大.,反思与感悟,在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件
4、得到的不一定是整数解，可以运用列举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析.,跟踪训练1 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才是最好的选择？,解答,设桌子、椅子分别买x张、y把，目标函数zxy，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为,O 为顶点的三角形区域(含边界)(如图)，,由图形可知，目标函数zxy在可行域内经过点B 时取得最大值，但注意到xN，yN，故取故买桌子25张，椅子37把是最好的选择.,类型二 非线性
5、目标函数的最值问题,命题角度1 斜率型目标函数 例2 已知实数x，y满足约束条件试求z 的最大值和最小值.,解答,作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，,故z的几何意义是点(x，y)与点M(1，1)连线的斜率， 因此 的最值是点(x，y)与点M(1，1)连线的斜率的最值， 由图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小， 又B(0,2)，C(1,0)， zmaxkMB3，zminkMC . z的最大值为3，最小值为 .,引申探究 1.把目标函数改为z ，求z的取值范围.,解答,由图易知，kNCkkNB，即 ， 7，z的取值范围是 ，7.,2.把目标函数改为z ，求z的取值范围.,解答,
6、命题角度2 两点间距离型目标函数例3 已知x，y满足约束条件试求zx2y2的最大值和最小值.,zx2y2表示可行域内的点到原点的距离的平方， 结合图形(例2图)知，原点到点A的距离最大，原点 到直线BC的距离最小.,解答,反思与感悟,(1)对于形如 的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题. (2)当斜率k、两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用.,跟踪训练2 变量x、y满足约束条件(1)设z ，求z的最小值；,解答,作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.,由约束条件,解答,(2)设zx2y2，求z的取值范围；,zx2y2的几何意义是可行
7、域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC| ，dmax|OB| ， 即2z29.,(3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围.,zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是可行域上的点到点(3,2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到点(3,2)的距离中，dmin1(3)4，dmax 8. 所以16z64.,解答,当堂训练,1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有 A.5种 B.6种 C.7种 D.8种,1,2,3,
8、4,答案,解析,设购买软件x片，磁盘y盒.则 画出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示. 落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点.即有7种选购方式.,1,2,3,4,2.已知点P(x，y)的坐标满足约束条件 则x2y2的最大值为,1,2,3,4,答案,解析,画出不等式组对应的可行域如图所示，,1,2,3,4,作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界).z可看作可行域上的点(x，y)与定点B(1,1)连线的斜率.由图可知z 的最大值为kAB3.,3.若x、y满足约束条件 则z 的最大值是_.,1,2,3,4,答案,解析,3,实数x，y满足的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，故zmin .,1,2,3,4,4.已知实数x，y满足约束条件 则zx2y2的最小值为_.,答案,解析,规律与方法,1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范. 2.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)应结合可行域与目标函数微调. 3.对于非线性目标函数，应准确翻译其几何意义，如x2y2是点(x，y)到点(0,0)的距离的平方，而非距离.,本课结束,