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人教A版高中数学必修五《3.4 基本不等式(二)》课件

1、3.4 基本不等式: (二),第三章 不等式,1.熟练掌握基本不等式及变形的应用. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 基本不等式及变形,思考,使用基本不等式证明: (a0,b0),并说明什么时候等号成立.,答案,梳理,以下是基本不等式的常见变形,试用不等号连接,并说明等号成立的条件.,当且仅当 时,以上三个等号同时成立.,ab,知识点二 用基本不等式求最值,思考,因为x212x,当且仅当x1时取等号.所以当x1时,(x21)min2. 以上说法对吗?为什么?,错.显

2、然(x21)min1. x212x,当且仅当x1时取等号.仅说明抛物线yx21恒在直线y2x上方,仅在x1时有公共点. 使用基本不等式求最值,不等式两端必须有一端是定值.如果都不是定值,可能出错.,答案,梳理,基本不等式求最值的条件: (1)x,y必须是 ; (2)求积xy的最大值时,应看和xy是否为 ;求和xy的最小值时,应看积xy是否为 ; (3)等号成立的条件是否满足.,正数,定值,定值,题型探究,类型一 基本不等式与最值,例1 (1)若x0,求函数yx 的最小值,并求此时x的值;,解答,(2)设0x0, y4x(32x)22x(32x),(3)已知x2,求x 的最小值;,解答,x2,x

3、20,,即x4时,等号成立.,(4)已知x0,y0,且 1,求xy的最小值.,解答,即x4,y12时,上式取等号. 故当x4,y12时,(xy)min16.,xy(x1)(y9)10,当且仅当x1y93,即x4,y12时上式取等号, 故当x4,y12时,(xy)min16.,反思与感悟,在利用基本不等式求最值时要注意三点:一是各项均为正;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值(恰当变形,合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧);三是考虑等号成立的条件是否具备.,跟踪训练1 (1)已知x0,求f(x) 3x的最小值;,解答,(2)已知x3,求f(x) x的最大值;,x

4、3,x30,y0,且2x8yxy,求xy的最小值.,解答,方法一 由2x8yxy0,得y(x8)2x.,xy的最小值是18.,xy的最小值是18.,类型二 基本不等式在实际问题中的应用,命题角度1 几何问题的最值 例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是多少?,解答,设矩形菜园的长为x m,宽为y m, 则xy100,篱笆的长为2(xy) m. 由 ,可得xy ,2(xy)40. 当且仅当xy10时等号成立. 所以这个矩形的长、宽都为10 m时,所用篱笆最短,最短篱笆为40 m.,(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园

5、,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?,解答,设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则2(xy)36,xy18,矩形菜园的面积为xy m2. 由 9,可得xy81, 当且仅当xy9时,等号成立. 所以这个矩形的长、宽都为9 m时,菜园的面积最大,最大面积为81 m2.,反思与感悟,利用基本不等式解决实际问题时,一般是先建立关于目标量的函数关系,再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.,跟踪训练2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4 800 m3,深为3 m,如果池底每1 m2的造价为150元,池壁每1 m2的造价为120元,问怎样设计

6、水池才能使总造价最低?最低总造价是多少?,解答,设水池底面一边的长度为x m,,又设水池总造价为y元,根据题意,得,所以当水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低,最低总造价为297 600元.,命题角度2 生活中的最优化问题 例3 某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1 800元,面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元,购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少?,解答,设该厂每隔x天购买一次面粉,其购买量为6x吨. 由题意可知,面粉的保管及其他费用为 36x6(x1)6(x2)619x(x1). 设平均每天所

7、支付的总费用为y元,,所以该厂每10天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少.,引申探究 若受车辆限制,该厂至少15天才能去购买一次面粉,则该厂应多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的费用最少?,解答,设x1,x215,),且x1x2.,15x1x2, x1x20,x1x2225,,反思与感悟,应用题,先弄清题意(审题),建立数学模型(列式),再用所掌握的数学知识解决问题(求解),最后要回应题意下结论(作答).使用基本不等式求最值,要注意验证等号是否成立,若等号不成立,可考虑利用函数单调性求解.,跟踪训练3 一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市,已知两地铁路线长40

8、0千米,为了安全,两列货车的间距不得小于 千米,那么这批货物全部运到B市,最快需要_小时.,8,设这批货物从A市全部运到B市的时间为t,则,所以这批货物全部运到B市,最快需要8小时.,答案,解析,当堂训练,1.已知0x1,则f(x)2log2x 的最大值是_.,1,2,3,4,答案,解析,当0x1时,log2x0,b0,且不等式 0恒成立,则实数k的最小值等于 A.0 B.4 C.4 D.2,答案,解析,1,2,3,4,当且仅当ab时,等号成立,,即实数k的最小值等于4.故选C.,规律与方法,1.用基本不等式求最值 (1)利用基本不等式,通过恒等变形,以及配凑,造就“和”或“积”为定值,从而求得函数最大值或最小值.这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件:“一正”各项为正数;“二定”“和”或“积”为定值;“三相等”等号一定能取到.这三个条件缺一不可. (2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.,(3)在求最值的一些问题中,有时看起来可以运用基本不等式求最值,但由于其中的等号取不到,所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的,这时通常可以借助函数yx (p0)的单调性求得函数的最值. 2.求解应用题的方法与步骤: (1)审题;(2)建模(列式);(3)解模;(4)作答.,本课结束,