1、2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算,学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 平面向量的正交分解,思考,如果向量a与b的夹角是90，则称向量a与b垂直，记作ab.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？,答案 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底.,答案,梳理,把一个向量分解为 _的向量，叫做把向量正交分解.,两个互相垂直,思考1,知识点二 平
2、面向量的坐标表示,如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30，且|a|4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?,答案,思考2,答案,在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a(1，1)，则向量a的位置确定了吗？,答案 对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定.对于向量a，给定a的坐标为a(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关.,思考3,答案,梳理,(1)平面向量的坐标 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 i、j作为基底.
3、对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj.平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y). 在平面直角坐标平面中，i(1，0)，j(0，1)，0(0，0).,单位向量,(2)点的坐标与向量坐标的区别和联系,知识点三 平面向量的坐标运算,思考,答案,设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ax1iy1j，bx2iy2j，根据向量的线性运算性质，向量ab，ab，a(R)如何分别用基底i、j表示？,答案 ab(x1x2)i(y1y2)j， ab(x1x2)
4、i(y1y2)j， ax1iy1j.,梳理,设a(x1，y1)，b(x2，y2)，,(x1，y1),已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量 (x2x1，y2y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.,题型探究,类型一 平面向量的坐标表示,解答,(1)求向量a，b的坐标；,解 作AMx轴于点M， 则OMOAcos 45,AMOAsin 45,AOC18010575，AOy45， COy30. 又OCAB3，,解答,(3)求点B的坐标.,反思与感悟,在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.一
5、般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围.,解答,跟踪训练1 已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量 的坐标.,解 如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60，2sin 60)，,类型二 平面向量的坐标运算,解答,(1)求3ab3c；,解 由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8). 3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8) (1563，15324)(6，42).,解答,(2)求满足ambnc的实数m，n的值；,
6、解 mbnc(6mn，3m8n)a(5，5)，,解答,(3)求M，N的坐标及向量 的坐标.,解 设O为坐标原点，,M(0，20).,反思与感悟,向量坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.,解答,跟踪训练2 已知a(1，2)，b(2，1)，求： (1)2a3b； 解 2a3b2(1，2)3(2，1) (2，4)(6，3)(4，7). (2)a3b； 解 a3b(1，2)3(2，1) (1，2)(6，3)(7，1)
7、.,解答,类型三 平面向量坐标运算的应用,解答,(1)点P在第一、三象限的角平分线上；,解 设点P的坐标为(x，y)，,(3，1)(5，7)(35，17).,若点P在一、三象限角平分线上，则5547，,解答,(2)点P在第三象限内.,当1时，点P在第三象限内.,反思与感悟,(1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用. (2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.,跟踪训练3 已知向量a(2，1)，b(1，2)，若man
8、b(9，8)(m，nR)，则mn的值为_.,3,解析 a(2，1)，b(1，2)， manb(2mn，m2n)(9，8)，,答案,解析,当堂训练,答案,2,3,4,5,1,1.设平面向量a(3，5)，b(2，1)，则a2b等于 A.(7，3) B.(7，7) C.(1，7) D.(1，3),2,3,4,5,1,答案,解析,答案,解析,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,答案,解析,A.(7，4) B.(7，4) C.(1，4) D.(1，4),答案,解析,5.如图，在66的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足cxayb(x，yR)，则xy_.,解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，则可得a(1，2)，b(2，3)，c(3，4).,2,3,4,5,1,规律与方法,1.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化. 2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，此时 (xBxA，yByA). 3.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.,本课结束,